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Bildung Cauchy-Produkt

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Tags: Cauchy Produkt, reih, Sonstig

Mai05 aktiv_icon

14:39 Uhr, 05.01.2021

Hallo,

ich habe das Produkt, das man im Bild sieht gegeben und soll nun bestimmen, für welche x€R das Cauchy-Produkt gebildet werden darf.
Ich weiß, dass die Reihen dafür beide absolut konvergent sein müssen.

(Ich habe die Faktoren jeweils als eine eigene Reihe betrachtet)
Meine Überlegung war folgende:
Die beiden Reihen sind jeweils geometrische Reihen und damit ist die Summe jeweils

\frac{1}{1 - x}

Dazu haben wir aufgeschrieben, dass diese Art von Reihen konvergieren für

| x | < 1

und divergieren für

x \geq 1

und

x \leq - 1

Damit dürfte man nach meiner Überlegung das Cauchy-Produkt berechnen für alle x€R ,wobei

- 1 < x < 1

Da ich mit diesem Ergebnis von

x

weiterrechnen muss, würde ich gern sichergehen, ob meine Überlegungen stimmen.
Mich macht stutzig, dass ich in der nächsten Aufgabe für diese

x

das Cauchy-Produkt berechen muss, aber ich kann doch nicht jede reelle Zahl zwischen

- 1

und 1 einsetzen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

14:44 Uhr, 05.01.2021

"Da ich mit diesem Ergebnis von x weiterrechnen muss, würde ich gern sichergehen, ob meine Überlegungen stimmen."

Ja, die Reihen konvergieren genau dann, wenn

- 1 < x < 1

.

"Mich macht stutzig, dass ich in der nächsten Aufgabe für diese x das Cauchy-Produkt berechen muss, aber ich kann doch nicht jede reelle Zahl zwischen −1 und 1 einsetzen."

Wozu willst du

x

einsetzen? Du kannst das Cauchy-Produkt allgemein berechnen.

Mai05 aktiv_icon

15:17 Uhr, 05.01.2021

Okay ich hab das jetzt allgemein für

x

gemacht und habe dann das:

Aber an dieser Stelle weiß ich nicht wie ich weiter machen soll

DrBoogie aktiv_icon

15:19 Uhr, 05.01.2021

Es gilt

\sum_{k = 0}^{n} x^{n} = (n + 1) x^{n}

, denn da wird derselbe Term

n + 1

mal summiert.

Mai05 aktiv_icon

16:32 Uhr, 05.01.2021

Ist dann nicht das Ergebnis des Produktes unendlich?

(x^{n}

für

n \to

unendlich ist ja unendlich und

(n + 1)

ist ja immer positiv)

DrBoogie aktiv_icon

16:45 Uhr, 05.01.2021

Was meinst du unter unendlich?
Du hast als Ergebnis

\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}

. Diese Reihe konvergiert bei

x

aus

(0, 1)

Mai05 aktiv_icon

16:53 Uhr, 05.01.2021

Ist es richtig wenn ich schreibe, dass die Reihe für

0 \leq x < 1

gegen 0 konvergiert, für

x = 1

gegen 1 und für

x < 0

nicht konvergiert, weil die Folge dann alternierend ist?

DrBoogie aktiv_icon

17:43 Uhr, 05.01.2021

Nein, das ist nicht richtig. Sie konvergiert für alle

x

aus

(- 1, 1)

und nur für diese.
Und sie konvergiert nicht gegen

0

, es sei denn

x = 0

Mai05 aktiv_icon

10:22 Uhr, 06.01.2021

Ich habe die Aufgabe nochmal überdacht.
Wenn ich "für diese

x

das Cauchy-Produkt berechnen" soll, bin ich dann nicht fertig bei
(Summe)

(n + 1) \cdot x^{n}

?
Oder gehört zur Berechnung des Cauchy-Produktes auch eine Angabe über Konvergenz/Divergenz?

DrBoogie aktiv_icon

10:27 Uhr, 06.01.2021

Das weiß ich nicht.
Aber die Konvergenz ist mit dem Wurzelkriterium schnell zu analysieren.
Hier kann

\sqrt[n]{n + 1} \to 1

benutzt werden.

Mai05 aktiv_icon

10:39 Uhr, 06.01.2021

Aber habe ich nicht die n-te Wurzel aus

(n + 1) \cdot x

?
Die Summe war doch von

n = 0

bis unendlich über

(n + 1) \cdot x

Wäre die Reihe dann nicht konvergent gegen

1 \cdot x

DrBoogie aktiv_icon

10:47 Uhr, 06.01.2021

"Aber habe ich nicht die n-te Wurzel aus (n+1)⋅x?"

n-te Wurzel aus

∣ (n + 1) x^{n} ∣

, also

\sqrt[n]{n + 1} \cdot ∣ x ∣

. Und

∣ x ∣

ist in diesem Fall nur ein Faktor, der nicht von

n

abhängt. Also

\sqrt[n]{n + 1} \cdot ∣ x ∣ \to ∣ x ∣

.

"Die Summe war doch von n=0 bis unendlich über (n+1)⋅x"

Nein, über

(n + 1) x^{n}

.

"Wäre die Reihe dann nicht konvergent gegen 1⋅x?"

Nein, du verwechselt den Grenzwert der Reihe mit dem Grenzwert des Ausdrucks aus dem Wurzelkriterium.

HAL9000

10:47 Uhr, 06.01.2021

@Mai05

Deinen Antworten nach herrscht bei dir ein enormes gedankliches Chaos hinsichtlich Reihen, daher denke mal genau über folgendes nach:

Es besteht ein Unterschied zwischen der Konvergenz der Reihengliederfolge und der Konvergenz der Reihe selbst, und im Zuge dessen auch ein Unterschied zwischen beiden Grenzwerten! Du scheinst das noch nicht richtig realisiert zu haben.

Die Konvergenz der Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n}

ist laut Wurzelkriterium gesichert, sofern

lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{∣ (n + 1) x^{n} ∣} = lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{∣ n + 1 ∣} \cdot ∣ x ∣ < 1

gilt, was für

∣ x ∣ < 1

der Fall ist. Mit dem eigentlichen Reihenwert hat das NICHTS zu tun, der ist für diese

x

gleich

\sum_{n = 0}^{\infty} (n + 1) x^{n} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

HAL9000

10:47 Uhr, 06.01.2021

(bitte löschen - verunfalltes Doppelposting)

Mai05 aktiv_icon

11:12 Uhr, 06.01.2021

Okay dann nochmal eine Verständnisfrage.

Ist das was ich im Bild geschrieben habe richtig?
Und habe ich (wenns richtig ist) damit den GW der Reihe oder nur den GW des Ausdrucks bestimmt?

HAL9000

11:44 Uhr, 06.01.2021

> Nein, du verwechselt den Grenzwert der Reihe mit dem Grenzwert des Ausdrucks aus dem Wurzelkriterium.

Das war doch wohl mehr als deutlich von DrBoogie. Du hast letzteres ausgerechnet, nicht den Reihenwert. Auch ich hatte mich oben dahingehend geäußert - wieviel Bestätigungen benötigst du noch?

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