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Bilineare abbildung

Schüler

Tags: Abbildung, Bilinear, bilineare Abbildungen, keine vernünftige definition

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10:39 Uhr, 26.05.2012

Hallo,
Was ist eine bilineare abbildung? Ich finde im Internet keine vernünftige definition.

hagman aktiv_icon

10:43 Uhr, 26.05.2012

Was ist an der hire stehenden Definition unvernünftig: de.wikipedia.org/wiki/Bilinear ?

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10:51 Uhr, 26.05.2012

Was ist denn eine multilineare abbildung?

hagman aktiv_icon

11:43 Uhr, 26.05.2012

Der Satz geht ja nicht umsonst mit "das heißt" weiter.
Wenn du weißt, was eine lineare Abbildung

A \to C

bzw. eine lineare Abbildung

B \to C

ist, dann ist Abbildung

f : A \times B \to C

genau dann bilinear, wenn für jedes

a \in A

die Abbildung

x \mapsto f (a, x)

linear ist und für jedes

b \in B

die Abbildung

x \mapsto f (x, b)

linear ist.

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12:08 Uhr, 26.05.2012

Könntest du ein Beispiel geben?

hagman aktiv_icon

12:50 Uhr, 26.05.2012

f : ℝ \times ℝ \to ℝ, (x, y) \mapsto 2 x y

ist bilinear.

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14:25 Uhr, 26.05.2012

Woran erkennst du, dass

f : ℝ \to ℝ (x, y) \mapsto

2xy linear ist?

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14:51 Uhr, 26.05.2012

Aaaaah, wo bleibt denn nur mein gelerntes, natürlich ist die linear. Sorry...
Aber wie sieht es denn hiermit aus, bei der Abbildung weiß ich nicht weiter, im Internet steht zwar, dass sie linear ist aber ich Wüste gern wieso:

V

ist ein vektorraum und

V^{d}

sei Dualraum

f : V^{d} x V \mapsto R

Soll bilinear sein. Wieso?

(x

soll das kartesische Produkt sein)

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16:37 Uhr, 26.05.2012

Hat keiner ne Idee? Ansonsten kann ich nicht mit tensoren weiter machen.Und das fände ich schade.

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17:46 Uhr, 26.05.2012

Ich komm bei dem vektorraum und dem dualraum durcheinander.

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09:58 Uhr, 27.05.2012

. .

. . . . .. .. . . . . .wann antwortest du denn. .

. .

. .

... ...

. .. .. . . .

hagman aktiv_icon

11:30 Uhr, 27.05.2012

. .

. wenn ich wieder Zeit und Lust habe, hier zu stöbern. :-)

Du hast leider nicht angegeben, *welche* Abbildung

f : V^{d} \times V \to ℝ

du meinst. Insofern ist Bilinearitär nicht notwendig gegeben.
Es gibt allerdings eine kanonische Abbildung

V^{d} \times V \to ℝ,

denn die Elemente

φ \in V^{d}

sind ja genau die linearen Abbildungen

φ : V \to ℝ

. Somit hat man die Paarung

V^{d} \times V \to ℝ, (φ, v) \mapsto φ (v)

.
Warum ist diese Abbildung bilinear?
Wenn man

φ \in V^{d}

fest wählt, muss die Abbildung

V \to ℝ, x \mapsto φ (x)

linear sein und, wenn man

x \in V

fest wählt, muss

V^{d} \to ℝ, φ \mapsto φ (x)

linear sein.
Nun ist die erste Abbildung ja gearde "

φ

anwenden" und per Definition linear, wenn

φ \in V^{d}

.
Für die zweite Abbildung erinnern wir uns daran, wie die Addition und Sklaarmultiplikation, die

V^{d}

zu einem Vektorraum machen definiert sind: punktweise. Deshalb ist diese Abbildung "an der Stelle

x

auswerten" ebenfalls linear. Nochmal explizit: Für

φ, ψ \in V^{d}

und

c \in ℝ

ist

(φ + ψ) (x) = φ (x) + ψ (x)

und

(c φ) (x) = c \cdot φ (x)

per Definition.

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