Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Bilinearform

Bilinearform

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Bilinearform, Vektorraum

user13120 aktiv_icon

18:40 Uhr, 23.11.2022

Hey ich habe folgende Aufgabe:

(a)

habe ich lösen können, bin aber gerade bei

(b)

und

(c)

und komme nicht so ganz weiter.

fangen wir mit

(b)

an:

So wie ich das stand jetzt verstanden habe gilt:

B_{2}^{⋆}

ist die Basis der Linearen Abbildungen von

W

nach K.
Sei

g

aus

W^{⋆},

so gilt doch

g = α_{1} \cdot g_{1} + . .

+ α_{n} \cdot g_{n}

und
Ф_B2^*(g)

= {(α_{1}, ..., α_{n})}^{T}

und analog mit
Ф_B1^*(f) oder?

Vielen Dank!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

08:58 Uhr, 24.11.2022

Hallo,

nun, ich hätte ebenfalls erst einmal die Frage gestellt, was es mit

Φ

auf sich hat.
Demnach scheint

Φ_{B} (\vec{v})

den Koordiantenvektor von

\vec{v}

bzgl. einer Basis

B

zu liefern, d.h. es gilt dann

\vec{v} = \sum_{\vec{b} \in B} λ_{\vec{b}} \cdot \vec{b}

.

Ok, damit kann man arbeiten.
Bei der Aufgabe geht es darum, zu beweisen, dass die beiden dargestellten Matrizen gleich sind. Und dazu genügt es, dass man nachrechnet, dass das Element in der

i

-ten Zeile und

j

-ten Spalte (unabhängig von

i

und

j

) jeweils übereinstimmt.
Sei

e_{i} := (\begin{array}{c} 0 \\ ⋮ \\ 0 \\ 1 \\ 0 \\ ⋮ \\ 0 \end{array})

der

i

-te Einheitsvektor im jeweiligen Kontext!

Du müsstest also beweisen, dass

^{T} e_{i} \cdot [β]_{B_{1}, B_{2}} \cdot e_{j} =^{T} e_{i} \cdot (Φ_{B_{2}^{*}} (g) \cdot (^{T} Φ_{B_{1}^{*}} (f))) \cdot e_{j}

gilt.

Das ist eher ein Nachrechnen, als hohe Mathematik.
Die (Matrizen-)Multiplikationen sind assoziativ. Daher kann man die beiden (dann Skalar-)Produkte

^{T} e_{i} \cdot Φ_{B_{2}^{*}} (g)

und

^{T} Φ_{B_{1}^{*}} (f) \cdot e_{j}

berechnen, wenn man für

g

bzw.

f

"Koordinaten" gewählt hat, so wie du.
Gilt

g = α_{1} g_{1} + \dots + α_{n} g_{n}

und

B_{2}^{*} = {g_{1}, \dots, g_{n}}

, was gleichbedeutend ist mit

Φ_{B_{2}^{*}} (g) =^{T} (α_{1}, \dots, α_{n})

, dann gilt:

^{T} e_{i} \cdot Φ_{B_{2}^{*}} (g) =^{T} e_{i} \cdot^{T} (α_{1}, \dots, α_{n}) = α_{i}

So, wir müssen nun

B_{2}

nicht genau kennen. Es reicht, dass wir für

B_{2} = {b_{1}, \dots, b_{n}}

wissen, das

Φ_{B_{2}} (b_{i}) = e_{i}

gilt! Desweiteren wissen wir wegen dualer Basis, dass

g (b_{i}) = \sum_{k = 1}^{n} α_{k} g_{k} (b_{i}) = α_{i}

gilt.

Wenn du das nun noch für

f

durchexerzierst, gelingt der Beweis recht einfach.

Mfg Michael

user13120 aktiv_icon

12:45 Uhr, 24.11.2022

Super, vielen Dank! Habe es verstanden :-)

1563897

1563845

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?