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Bilinearform---> Matrix S mit SAS' diagonal ?

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Tags: Biliearform, Grammatrix, Symmetrischer Gauß

Pandoa aktiv_icon

16:36 Uhr, 08.09.2009

Hallo!!

Ich brauche dringend Hilfe bei einer Aufgabe....ich habe zwar die Lösung, allerdings ist der Weg nicht klar!

Gegeben ist eine Bilinearform mit der Gram-Matrix A=( 1 -1 1/ -1 2 0/1 0 3)
(/ bedeutet neue Zeile).
Die Aufgabe ist jetzt die folgende. Bestimmen Sie eine invertierbare Matrix S mit SAS' diagonal. (S' ist die transponierte Matrix)

Jetzt habe ich leider keine Ahnung,wie ich das lösen soll. In unserem Skript, das leider mehr verwirrend als hilfreich ist, steht, dass "Zeilenumformungen gefolgt von analogen Spaltenumformungen" gemacht werden, dazu das Stichwort Symmetrischer Gaussalgorithmus.

Jetzt bin ich allerdings ziemlich verzweifelt, da ich sämtliche Mathebücher und Webseiten durchsucht habe, aber ohne Hinweis auf die Lösung dieser Aufgabe.

Ich bin jedem dankbar, der mir die Aufgabe erklären kann oder wenigstens einen Tipp liefern kann, wie ich vorwärts komme. Ein herzliches Dankeschön schon im Voraus!

Liebe Grüße

Pandoa

(Wen die Lösung interessiert: www3.mathematik.tu-darmstadt.de/fb/mathe/lehre-und-studium/elektronisches-veranstaltungssystem.html?evsid=32&evsver=113&evsdir=203&evsfile=Loesung12.pdf Aufgabe G 43 (Symmetrischer Gauß) )

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DerCommander aktiv_icon

09:42 Uhr, 09.09.2009

hallo,
wie man eine matrix invertiert, steht hier sehr gut beschrieben. www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/inversematrix.htm

mal noch eine frage, denn eigentlich löst man dieses problem anders. hast du schon was von eigenwerten und eigenvektoren gehört?

maxsymca

11:30 Uhr, 09.09.2009

Ich vermute einen Druckfehler in der Aufgabe...
Nach meiner Rechnung sind die Eigenwerte sämtlich Imaginär.
Und die dokumentierte Lösung liefert für

S . A . S'

auch nicht die Diagonalmatrix wie angegeben.

DerCommander aktiv_icon

11:44 Uhr, 09.09.2009

dann hat sie immerhin die antwort darauf, warum sie nicht auf dieses ergebnis kommt.

Pandoa aktiv_icon

17:01 Uhr, 09.09.2009

Danke schonmal für die Antworten!!

Mein Problem ist leider noch immer nicht gelöst....ich weiß zwar, wie die Inverse einer Matrix gebildet wird, aber damit kommt man bei der Aufgabe nicht weiter. Ich will meine Matrix diagonalisieren, aber wie bekomme ich ein S heraus, das die Forderungen erfüllt? Die Musterlösung ist ja alles andere als ausführlich....wenn sie jetzt auch noch falsch ist, hilft sie leider nicht viel weiter ;-)

PS: Von Eigenwerten und Eigenvektoren habe ich bereits gehört....allerdinngs hätte ich, wenn ich die Eigenwerte der Matrix ausrechne, doch nur meine Diagonalmatrix "errechnet", oder? S fehlt ja dann noch immer....

DerCommander aktiv_icon

09:29 Uhr, 10.09.2009

hab ich doch gesagt, dass da das invertieren zur lösung nicht weiterhilft. da du von eigenwerten und eigenvektoren schon gehört hast, halte ich mich kurz. die diagonalmatrix

D

erhälst du aus den eigenwerten deiner matrix A. die eigenwerte schreibst du in eine quadratische matrix auf deren diagonalen die eigenwerte stehen und die restlichen einträge aus null bestehen.
um

S

aus der bedingung

D = S \cdot A \cdot S^{- 1}

zu berechnen, brauchst du die eigenvektoren der eigenwerte. diese berechnest du mit Eig(A-

λ_{i})

wobei

λ_{i}

deine eigenwerte sind, die du auf der diagonalen deiner matrix A abziehst. (ähnlich zur eigenwertbestimmung, nur dass du hier konkrete lamdas einsetzt.
dann hast du ein gleichungssystem, welches du in die stufennormalform bringst.
dabei sollte idealerweise mindestens eine nullzeile entstehen (bei doppelten eigenwerten müssten 2 nullzeilen entstehen), so dass du

z . b

x_{3}

frei wählen kannst und es als

z . b

r

bezeichnest. nun stellst du

x_{1}

und

x_{2}

in abhängigkeit von

r

dar. was du erhälst ist der eigenvektor des eigenwertes. dies machst du für alle eigenwerte.
wenn du diese eigenvektoren in eine matrix schreibst, ist diese matrix dein S.

Pandoa aktiv_icon

17:36 Uhr, 10.09.2009

Vielen lieben Dank!!

Dass das so "einfach" ist, wusste ich nicht....vom Handwerkszeug herkrieg ich das hin. (das mit dem Invertieren hab ich falsch verstanden).Wundert mich nur, dass unser Prof im Skript auf die Methode des symmetrischen Gauß hingewiesen hat. Wenn das auch anders geht, ist mir mehr als geholfen.
Also danke für die ausführliche und hilfreiche Antwort, ich bin mehr als erleichtert! ;-)

maxsymca

18:32 Uhr, 10.09.2009

Dann sei doch mal so nett und stelle Deine Rechnung zu den Eigenvektoren hier mal aus.

Pandoa aktiv_icon

19:41 Uhr, 10.09.2009

Werd ich gerne machen=) Aber macht es denn Sinn, wenn die Eigenwerte alle komplex sind, wie ja hier schon angemerkt wurde? Mit denen kann ich nämlich nicht rechnen...oder gehts doch? In dem Fall versuch ichs so gut es geht! ;-)

maxsymca

19:52 Uhr, 10.09.2009

Naja, so tief steck ich in dem Thema nicht drin...
und

S = (\begin{matrix} 1 & - \frac{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i - 2^{\frac{2}{3}}) + {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i - 2^{\frac{1}{3}})}{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot (- 2^{\frac{2}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i - 2^{\frac{2}{3}}) + 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{2}{3}} - 4} & \frac{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{2}{3}} \cdot (\sqrt{3} \cdot % i + 1) - 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}} \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}} \\ 1 & \frac{2 \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} + 2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i - 2^{\frac{1}{3}}}{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot (\sqrt{3} \cdot % i + 1) + 2^{\frac{2}{3}} \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{2}{3}} + 2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i + 2^{\frac{1}{3}}} & - \frac{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot (- 2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i - 2^{\frac{1}{3}}) + 2 \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{2}{3}}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}} \\ 1 & \frac{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{4}{3}} + 2 \cdot 2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{2}{3}} \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{2}{3}} - 2 \cdot {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} - 2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i + 2^{\frac{1}{3}}} & - \frac{{(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot (2^{\frac{1}{3}} \cdot \sqrt{3} \cdot % i - 2^{\frac{1}{3}}) + {(\sqrt{3} \cdot % i - 1)}^{\frac{5}{3}}}{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}} \end{matrix})

ist jedenfalls nicht die Lösung, die Dein Prof. ausgestellt hat...

Pandoa aktiv_icon

20:20 Uhr, 10.09.2009

Na das macht doch Mut....O.o Da bin ich ja froh, erst angefangen zu haben, das sieht ja sehr verwirrend aus....und nicht gerade ermutigend. Funktioniert es denn dann trotzdem wie beschrieben oder hat sich da jemand bei der Musterlösung gründlich geirrt?

maxsymca

20:24 Uhr, 10.09.2009

Ja, das funktioniert - nur sieht die Diag entsprechend grausam aus...
Wenn man die in der Lösung gegebenen Matrizen zusammenfasst (hab ich im ersten Fall nicht gesehen), ergibt sich die Musterlösung. Nur wird halt nirgens erklärt, wie er
die Musterlösung berechnet?

Pandoa aktiv_icon

21:26 Uhr, 10.09.2009

Leider sind unsere Musterlösungen nie besonders hilfreich....das Wichtigste- der Weg- fehlt oft.
Was meinst Du denn mit "wenn man die Matritzen der Lösung ZUSAMMENFASST...."? Multiplizieren?Welche denn genau? Und was ergibt sich dann?

Vielen Dank übrigens für die ausführliche Hilfe!!!

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