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Bilinearform, Radikal

Universität / Fachhochschule

Tags: Bilinearform, Radikal, symmetrisch

flowerpower1234 aktiv_icon

22:33 Uhr, 10.01.2013

Hallo zusammen,

ich beschäftige mich zurzeit mit folgender Aufgabe:

Es sein

n

eine nichtnegative ganze Zahl,

V = ℝ^{\leq n}

der RR-Vektorraum der Polynome vom Grad höchstens gleich

n

und

b : V x V \to ℝ, b (f, g) := f (0) \cdot g (0) + f (1) \cdot g (1)

a)Zeigen Sie, dass

b

eine symmetrische Bilinearform ist.
b)Zeigen Sie, dass

{f \in V | x \cdot (x - 1)

teilt

f}

das Radikal von

b

ist.

zu

a) :

z . z

λ \cdot b (f, h) + μ \cdot b (g, h) = b (λ \cdot f + μ \cdot g)

für alle

f, g, h \in V,

für alle

λ, μ \in K

λ \cdot b (f, h) + μ \cdot b (g, h) = λ (f (0) \cdot h (0) + f (1) \cdot h (1)) + μ \cdot (g (0) \cdot h (0) + g (1) \cdot h (1))

= λ f (0) \cdot h (0) + λ \cdot f (1) \cdot h (1) + μ \cdot g (0) \cdot h (0) + μ \cdot g (1) \cdot h (1)

= λ ((f (0) \cdot h (0) + f (1) \cdot h (1)) + μ \cdot ((g (0) \cdot h (0) + g (1) \cdot h (1))

b (λ f + μ \cdot g, h) = (λ \cdot f + μ \cdot g) (0) \cdot h (0) + (λ \cdot f + μ \cdot g) (1) \cdot h (1)

= (λ \cdot f (0) + μ \cdot g (0)) \cdot h (0) + (λ \cdot f (1) + μ \cdot g (1)) \cdot h (1)

= λ \cdot f (0) \cdot h (0) + μ \cdot g (0) \cdot h (0) + λ \cdot f (1) \cdot h (1) + μ \cdot g (1) + h (1)

= λ ((f (0) \cdot h (0) + f (1) \cdot h (1)) + μ \cdot ((g (0) \cdot h (0) + g (1) \cdot h (1))

z . z

b (h, λ \cdot f + μ \cdot g) = λ \cdot b (h, f) + μ \cdot b (h, g)

für alle

f, g, h \in V,

für alle

λ, μ \in K

b (h, λ \cdot f + μ \cdot g) = h (0) \cdot (λ \cdot f + μ \cdot g) (0) + h (1) \cdot (λ \cdot f + μ \cdot g) (1)

= h (0) \cdot [λ \cdot f (0) + μ \cdot g (0)] + h (1) \cdot [λ \cdot f (1) + μ \cdot g (1)]

= h (0) \cdot λ \cdot f (0) + μ \cdot g (0) \cdot h (0) + λ \cdot h (1) \cdot f (1) + μ \cdot h (1) \cdot g (1)

λ \cdot b (h, f) + μ \cdot b (h, g) = λ (h (0) \cdot f (0) + h (1) \cdot f (1)) + μ \cdot (h (0) \cdot g (0) + h (1) \cdot g (1))

= h (0) \cdot λ \cdot f (0) + μ \cdot g (0) \cdot h (0) + λ \cdot h (1) \cdot f (1) + μ \cdot h (1) \cdot g (1)

Symmetrie

z . z

b (f, g) = b (g, f)

für alle

f, g \in V

b (f, g) = f (0) \cdot g (0) + f (1) \cdot g (1)

b (g, f) = g (0) \cdot f (0) + g (1) \cdot f (1)

So...vielleicht könnte mal jemand über den Aufgabenteil

a)

schauen und mich vielleicht auf Fehler hinweisen.

zu

b)

Da weiß ich gar nicht, wie ich an die Aufgabe rangehen soll.

Das Radikal ist ja so def:

Sei

V

ein endl. dim. K-VR. Sei

S

in Bil() eine symm. Bilinearform. Für einen K-UR

U \subseteq V

heißt rad(U)=

U \cap U^{⊥}

Radikal.

Kann ich irgendwie mit der Def. arbeiten? Für jede Hilfe bin ich sehr dankbar!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

flowerpower1234 aktiv_icon

18:55 Uhr, 13.01.2013

Niemand einen Hinweis?

Die Aufgabe ist leider total wichtig für meine Klausurvorbereitung...

mafi02 aktiv_icon

19:42 Uhr, 13.01.2013

Hallo
die a) ist korrekt allerdings etwas aufwendig bewiesen. Als Tipp für die Zukunft: Zeige zuerst die Symmetrie der Bilinearform, dann reicht es aus die Linearität in einer Komponenten zu zeigen.

zu b)
Du musst eine Mengengleichheit zeigen. Nach Definition ist ja

r a d (b) = {f \in V ∣ b (f, g) = 0

\forall g \in V}

. Überleg dir also was für ein Polynom

f \in V

gelten muss, dass es in

r a d (V)

liegt.

gruß mafi

flowerpower1234 aktiv_icon

16:39 Uhr, 14.01.2013

Danke für deine Antwort!

zu

a) :

Wenn ich das richtig verstanden habe, kann man sich gut die Hälfte sparen, wenn man zunächst Symmetrie zeigt. Aber wieso geht das?

zu

b)

Meinst du die Nullabbildung? Die liegt ja auf jeden Fall in rad(b), denn dann gibt

b (f, g) = b (0, g) = 0

und

f

ist in rad(b)...
Aber weiter komm ich dann nicht....

Ich hab auch noch nicht so ganz verstanden, welche Mengengleichheit du genau meinst.

Danke schon mal für Hilfe!

mafi02 aktiv_icon

17:07 Uhr, 14.01.2013

Hallo
zu a): Wenn du die Symmetrie und die Linearität in der 1.Komponenten gezeigt hast, also

b (λ \cdot f + μ \cdot g, h) = λ \cdot b (f, h) + μ \cdot b (g, h)

und

b (f, g) = b (g, f)

so gilt ja:

b (f, λ \cdot g + μ \cdot h) = b (λ \cdot g + μ \cdot h, f) = λ \cdot b (g, f) + μ \cdot b (h, f) = λ \cdot b (f, g) + μ \cdot b (f, h)

und damit die Linearität in der 2.Komponenten.

zu b) ja das Nullelement (hier die Nullabbildung) liegt immer in rad(b).
z.Z. ist die Mengengleichheit

{f \in V ∣ b (f, g) = 0 \forall g \in V} = {f \in V ∣ x \cdot (x - 1)

teilt

f}

Gruß mafi

flowerpower1234 aktiv_icon

19:54 Uhr, 16.01.2013

Okay, die

a)

hab ich jetzt verstanden.

zu

b)

Mir ist grundsätzlich klar, dass ich, um eine Mengengleichheit zu zeigen, zwei Inklusionen zeigen muss.
1.

{f \in V | b (f, g) = 0

für alle

g \in V} \subseteq {f \in V | x \cdot (x - 1)

teit

f}

{f \in V | x \cdot (x - 1)

teit

f} \subseteq {f \in V | b (f, g) = 0

für alle

g \in V}

Allerdings weiß ich nicht wie ich da anfangen könnte.

Ich hab mir gedacht, dass man vielleicht mit dem Ausdruck "

x \cdot (x - 1)

teilt f" anfangen könnte.

Es ex. dann ein Polynom

h \in K [x]

mit

f = g \cdot h = (x^{2} - x) \cdot h

Keine Ahnung, ob ich das gebrauchen kann...kannst du mir da vielleicht nochmal unter die Arme greifen?

flowerpower1234 aktiv_icon

23:18 Uhr, 17.01.2013

. .

flowerpower1234 aktiv_icon

17:28 Uhr, 19.01.2013

. .

flowerpower1234 aktiv_icon

18:11 Uhr, 20.01.2013

. .

mafi02 aktiv_icon

18:52 Uhr, 20.01.2013

Hallo

Überleg dir doch einmal was es für ein Polynom heißt durch

x \cdot (x - 1)

teilbar zu sein und was das für den Wert der Bilinearform von so einem Polynom und einem beliebigen Polynom heißt.

Für die andere Richtung musst du zeigen, dass jedes Polynom, welches in

r a d (V)

liegt, von

x \cdot (x - 1)

geteilt wird. Sei dazu z.B.

f \in r a d (V)

. Dann muss

b (f, g) = 0

gelten für alle

g \in r a d (V)

also auch insbesondere für

g = f

. Jetzt musst du dir nur noch überlegen was

b (f, f) = 0

für f bedeutet.

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