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Bilinearform ausgeartet prüfen

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Lineare Abbildungen

Tags: Bilinearform, Determinanten, Lineare Abbildungen

Ninad aktiv_icon

09:54 Uhr, 12.11.2014

Hallo zusammen :-)

Es geht um folgende Aufgabe:

Betrachten Sie die Bilinearform

β : ℝ^{2,1}

ℝ^{2,1} \to ℝ

mit

(x, y) \mapsto det ([x, y])

1 .)

Zeigen oder widerlegen Sie:

β

ist ausgeartet.

Also meine Überlegung war, dass die Abbildung nicht ausgeartet ist, das heißt für die 1. Variable:

für

β (x, y) = det ([x, y]) = 0

für alle

y \in ℝ \Rightarrow x = 0

Jetzt hatte ich die Idee, die Einheitsvektoren einzusetzen, also zu sagen: Sei

y_{1} = 1

und

y_{2} = 0

. Dann erhalten wir

det ([x, y]) = 0 \Leftrightarrow det ([\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] [\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}]) = 0 \Leftrightarrow 0 x_{1} - 1 x_{2} = 0 \Leftrightarrow x_{2} = 0,

das gleiche für den Einheitsvektor

[\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}]

und wir erhalten

x_{1} = 0

. Allerdings steckt da jetzt glaub ich der Fehler drin, dass ich es nur für den Fall zeige, dass

y

die Einheitsvektoren sind,

d . h

. ich zeige es nur für einen Fall... Es muss ja für alle gelten. Weiß aber jetzt nicht weiter. Hat jemand einen Vorschlag?

Liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DrBoogie aktiv_icon

10:29 Uhr, 12.11.2014

"Es muss ja für alle gelten. "

Es gilt auch für alle.
Du hast im Grunde schon alles gezeigt, nur es selber nicht richtig verstanden. :-)

Deshalb schreibe ich das, was Du gezeigt hast, etwas sauberer auf:

(x, y) \to \det ([x] [y])

nicht ausgeartet.
Beweis.
Sei

x

so, dass

\det ([x] [y]) = 0

für alle

y

.
Dann gilt insbesondere

\det ([x] [e_{1}]) = 0

und

\det ([x] [e_{2}]) = 0

.
Aus

\det ([x] [e_{1}]) = 0

folgt

x_{2} = 0

.
Aus

\det ([x] [e_{2}]) = 0

folgt

x_{1} = 0

.
Also haben:

x = 0

.
Insgesamt:

x

so, dass

\det ([x] [y]) = 0

für alle

y

x = 0

.
Fertig.

Ninad aktiv_icon

10:56 Uhr, 12.11.2014

Ah okay, danke!
Und das gleiche muss ich jetzt noh für die 2. Variable machen, also dass

y = 0

gilt. Aber das dürfte dann ja kein Problem mehr sein :-)

DrBoogie aktiv_icon

11:00 Uhr, 12.11.2014

"Und das gleiche muss ich jetzt noh für die 2. Variable machen, also dass y=0 gilt. "

Muss man nicht wirklich, denn

\det ([x] [y]) = - \det ([y] [x])

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