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Bilinearform positiv semi-definit
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Lineare Abbildungen
Matrizenrechnung
Vektorräume
Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Vektorraum
 
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Zu ∈ Mn(R) betrachten wir die symmetrische Matrix tB · ∈ Mn(R). Sei ein n-dimensionaler R-Vektorraum und bn) eine Basis von . Betrachte die Bilinearform ψ ψQ,b × → Zeigen Sie, dass ψ positiv semi-definit ist. (ii) Zeigen Sie, dass ψ genau dann positiv definit ist, wenn ∈ Gln(R) gilt. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, also . Aber was ist ? Mfg Michael |
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Hallo, leider hat das Datei anhängen nicht funktioniert, (bin hier noch relativ neu) wir sollen zum lösen das aus dem Skript verwenden (irgendwas aus diesem Lemma) aber ich wüsste jetzt nicht mal auf was genau davon das bezogen ist.  |
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Hallo, nun, positiv semidefinit bedeutet doch, dass . Wenn ich es richtig verstehe, gilt doch . Da das Standardskalarprodukt positiv definit ist, ist immer noch positiv semidefinit. (Bedenke: könnte gleich Null sein!) Damit ergibt sich auch ein Weg für (ii): Es gilt . Gilt also für alle , so gilt auch für . Mfg Michael |
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Also das von dem Anfang versteh ich, es darf ja bei der auch null ein also passt es, aber was machst du bei ii9 da ist es ja ein Größer, weshalb ich da deine Zusammenhänge nicht verstehe. |
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Hallo, wie geschrieben: ist ja das Standardskalarprodukt . Das Standardskalarprodukt ist ja positiv definit, d.h. nur genau denn gleich Null, wenn gilt. Ist invertierbar, so ist genau für . Alles zusammensetzen: Zusammen mit (i) ergibt das (ii). Mfg Michael |
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Muss man bei genau dann wenn nicht beide Richtungen zeigen? |
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