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Bilinearformen und Sesquilinearformen untersuchen

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: Bilinearform, Definitheit, hermitesch, Sesquilinearform, Vektorraum

AssozialerMathe aktiv_icon

14:22 Uhr, 12.06.2016

Untersuchen Sie, ob die folgenden Bilinearformen bzw. Sesquilinearformen β
auf den angegebenen K-Vektorräumen

V (i)

symmetrisch bzw. hermitesch, (ii) alternierend,
(iii) positiv (semi)definit, (iv) nicht ausgeartet oder

(v)

Skalarprodukte sind.

a) K

beliebig,

V = K^{4},

β(x,

y) = x 1 y 2

−

x 2 y 1 + x 3 y 4

−

x 4 y 3

b) K

beliebig,

V = K^{3},

ß(x,

y) = x 2 y 3

−

x 2 y 3

c) K = C, V =

ABB

(R, C),

β(f,

g) = f (0) g (0), [f (0)

als komplex konjugiert

]

d) K

beliebig,

V = K^{3},

β(x,

y) = x 1 y 1 + x 2 y 3

−

x 3 y 2,

Wie gehe ich da am Besten vor ?

Muss ich erst prüfen ob es sich um eine Sesqui- oder Bilinearform handelt und dann die Eigenschaften durchprüfen und bei beliebigem Körper ne Fallunterscheidung für

R, C

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

mihisu aktiv_icon

18:34 Uhr, 12.06.2016

Bei dieser Aufgabe könnt ihr davon ausgehen, dass es sich um Bilinear- bzw. Sesquilinearformen handelt. Das musst du also nicht extra nachweisen. (Es schadet natürlich nicht, wenn man das zur Übung trotzdem macht.) Hier geht es eher um die Eigenschaften

(i), (i i), (i i i), (i v), (v),

die überprüft werden sollen.

\\\\

Bei den Teilaufgaben

(a), (b), (d)

in denen der Köper beliebig ist, brauchst du bei der Überprüfung, ob

β

symmetrisch bzw. alternierend bzw. nicht ausgeartet ist keine Fallunterscheidung in

K = ℂ

bzw.

K = ℝ

zu machen. (Der Körper muss auch nicht unbedingt

ℝ

oder

ℂ

sein, sondern könnte beispielsweise auch ein endlicher Körper sein.).
(Du musst bei den Teilaufgaben auch nicht in

ℝ

oder

ℂ

unterscheiden, um überprüfen zu können, ob

β

hermitesch ist, da das nur für Sesquilinearformen definiert wurde. Vergleiche dazu: Definition

9.1.2

im Skript. Denn in den Teilaufgaben ist

β

für

K = ℂ

keine Sesquilinearform, und für

K = ℝ

ist

β

zwar genau genommen auch eine Sesquilinearform, aber für

K = ℝ

ist hermitesch und symmetrisch äquivalent, so dass du deshalb nicht extra überprüfen musst, ob

K = ℝ

hermitesch ist.)

Bei der Überprüfung, ob

β

positiv (semi-)definit ist bzw.

β

ein Skalarprodukt ist, brauchst du in

(a)

und

(d)

nur

K = ℝ

zu betrachten. (Für

K \neq ℝ

ist in den Teilaufgaben nämlich \nämlich

β

keine Sesquilinearform.) In

(b)

brauchst du entsprechend auch nur

K = ℝ

bzw.

K = ℂ

zu betrachten. Eine großartige Fallunterscheidung wirst du da aber auch nicht benötigen, da die Abbilung in beiden Fällen jeweils die Nullabbildung ist.

\\\\

Ich habe dir als Beispiel mal die Lösung des Aufgabenstellers zu Teilaufgabe

(a)

angehängt.

[

Hinweis: Die Lösungen sind für uns Tutoren zur Orientierung gedacht. Und sind manchmal ein wenig knapp/unvollständig gefasst.]

\\\\

Ich zeige mal, wie ich die Aufgabe

(a)

bearbeiten würde:

β

ist eine Bilinearform (bzw. für

K = ℝ

auch eine Sesquilinearform)

(i)

Wenn

c h a r (K) = 2,

dann ist:

β (x, y) = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{3} y_{4} - x_{4} y_{3}

= x_{1} y_{2} + x_{2} y_{1} + x_{3} y_{4} + x_{4} y_{3}

= y_{1} x_{2} + y_{2} x_{1} + y_{3} x_{4} + y_{4} x_{3} = β (y, x)

Also ist

β

für

c h a r (K) = 2

symmetrisch.

Wenn

c h a r (K) \neq 2,

dann ist:

β (e_{1}, e_{2}) = 1 \neq - 1 = β (e_{2}, e_{1})

Für

c h a r (K) \neq 2

ist

β

also nicht symmetrisch (bzw. im Fall

K = ℝ

auch nicht hermitesch).

(i i)

Für beliebiges

x \in V

ist

β (x, x) = x_{1} x_{2} - x_{2} x_{1} + x_{3} x_{4} - x_{4} x_{3} = 0

. Also ist

β

alternierend.

(i i i)

Für

K = ℝ :

(Für

K \neq ℝ

ist

β

keine Sesquilinearform.)
Für beliebiges

x \in V

ist

β (x, x) = 0 \geq 0

. Also ist

β

positiv semidefint.

β

ist jedoch nicht positiv definit, da beispielsweise für

e_{1} \in V \ {0}

die Gleichung

β (e_{1}, e_{1}) = 0

gilt.

(i v)

β

ist nicht ausgeartet. Denn sei

y \in V

beliebig mit

β (x, y) = 0

für alle

x \in V,

also insbesondere

β (e_{1}, y) = β (- e_{2}, y) = β (e_{3}, y) = β (- e_{4}, y) = 0,

also mit

y_{2} = y_{1} = y_{4} = y_{3} = 0

. Dann folgt

y = 0

(v)

Für

K = ℝ :

(Für

K \neq ℝ

ist

β

keine Sesquilinearform.)

β

ist weder hermitesch noch positiv definit. Also ist

β

kein Skalarprodukt.

HaramPeter aktiv_icon

21:02 Uhr, 12.06.2016

Warum ist die

a)

bei Char(K)=2 symmetrisch ? Und ist es dann bei den anderen Teilaufgaben jeweils bei char(K)=2, wenn

K

beliebig ist auch symmetrisch ?

mihisu aktiv_icon

23:10 Uhr, 12.06.2016

"Warum ist die

a)

bei Char(K)=2 symmetrisch ?"

Kurze Antwort:
Weil ich nachgerechnet habe, dass dann

β (x, y) = β (y, x)

für alle

x, y \in V

ist.

Ausführlichere Antwort:

Wenn

c h a r (K) = 2

ist, so ist nach Definition (Bemerkung

2.3.16

im Skript)

1 + 1 = 0

. Also ist dann die 1 ihr eigenes additives Inverses. Das heißt, es ist

- 1 = 1

.

Wenn man sich nun

(a)

die Abbildung

β

ansieht, so ist:

β (x, y) = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{3} y_{4} - x_{4} y_{3}

Aufgrund der Kommutativität im Körper

K,

kann man das umformen:

β (x, y) = x_{1} y_{2} - x_{2} y_{1} + x_{3} y_{4} - x_{4} y_{3}

= y_{2} x_{1} - y_{1} x_{2} + y_{4} x_{3} - y_{3} x_{4}

= - y_{1} x_{2} + y_{2} x_{1} - y_{3} x_{4} + y_{4} x_{3}

= - 1 \cdot (y_{1} x_{2} - y_{2} x_{1} + y_{3} x_{4} - y_{4} x_{3})

= - 1 \cdot β (y, x)

Also ist

β (x, y) = - 1 \cdot β (y, x)

für alle

x, y \in K^{4}

.

Damit

β

symmetrisch ist, muss

β (x, y) = β (y, x)

für alle

x, y \in K^{4}

sein.
Im Fall

c h a r (K) = 2

ist nun jedoch

- 1 = 1,

und damit:

β (x, y) = - 1 \cdot β (y, x) = 1 \cdot β (y, x) = β (y, x)

Wenn allerdings

c h a r (K) \neq 2

ist, so ist

- 1 \neq 1,

was dazu führt, dass

β

dann nicht symmetrisch ist, denn dann ist beispielsweise

β (e_{1}, e_{2}) = 1 \neq - 1 = β (e_{2}, e_{1})

.

\\\\

"Und ist es dann bei den anderen Teilaufgaben jeweils bei char(K)=2, wenn

K

beliebig ist auch symmetrisch ?"

Ja, in den Teilaufgaben

(b)

und

(d)

ist die Bilinearform

β

auch jeweils im Fall

c h a r (K) = 2

symmetrisch. In Teilaufgabe

(b)

ist

β

jedoch auch für

c h a r (K) \neq 2

symmetrisch.

Aber nicht, dass du jetzt denkst, dass alle Bilinearformen symmetrisch sind, wenn

c h a r (K) = 2

ist. Beispielsweise ist

β : K^{2} \times K^{2} \to K

mit

β (x, y) = x_{1} y_{2}

für keinen Körper

K

symmetrisch, denn

β ((\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})) = 1 \cdot 1 = 1 \neq 0 = 0 \cdot 0 = β ((\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}), (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}))

AssozialerMathe aktiv_icon

18:23 Uhr, 13.06.2016

Top, danke man !

Für die folgenden Teilaufgaben habe ich rausgekommen :

b) i)

symmetrisch, ii) alternierend, iii) pos. Semi definit, iv) nicht ausgeartet,

v)

kein Skp

C) i)

nicht symmetrisch, ii) nicht alternierend, iii) pos. Semi definit, iv) nicht ausgeartet,

v)

kein Skp

d) i)

nicht symmetrisch, ii) nicht alternierend, iii) pos. Semi definit, iv) nicht ausgeartet,

v)

kein Skp

Stimmt das so ?

mihisu aktiv_icon

22:30 Uhr, 13.06.2016

(b)

(i)

symmetrisch, (im Fall

K = ℝ

oder

K = ℂ

auch hermitesch)

(i i)

alternierend

(i i i)

Im Fall

K = ℝ

oder

K = ℂ :

positiv semi-definit (aber nicht positiv definit)

(i v)

ausgeartet

(v)

kein Skalarprodukt

Hier hast du (iv) falsch. Wähle

y \in V \ {0},

beispielsweise

y = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

. Dann ist

β (x, y) = 0

für alle

x \in V

. Wäre

β

nicht ausgeartet, müsste nun

y = 0

folgen. Jedoch ist

y \neq 0,

weshalb

β

ausgeartet ist.

\\\\

(c)

(i)

hermitesch

(i i)

nicht alternierend

(i i i)

positiv semidefinit (aber nicht positiv definit)

(i v)

ausgeartet

(v)

kein Skalarprodukt

Hier prüft du auf Symmetrie. Warum? Symmetrie habt ihr im Skript für Bilinearformen (bzw. allgemeiner auch für multilineare Abbildungen) definiert. Hier ist jedoch

β

keine Bilinearform. Aber

β

ist eine Sesquilinearform, weshalb hier geprüft werden soll, ob

β

hermitesch ist.

Auch weiß ich nicht, warum du hier wieder darauf gekommen bist, dass

β

nicht ausgeartet sein soll. Schaue dir nochmal die Definition von "nicht ausgeartet an". Wenn du schreibst, wie du vorgegangen bist, kann ich dir helfen, den Fehler zu finden. (Ansonsten kannst du natürlich auch deinen Tutor in der Präsenzübung fragen oder in die Fragestunde gehen.)

\\\\

(d)

(i)

Symmetrisch, wenn

c h a r (K) = 2

ist.
Nicht Symmetrisch, wenn

c h a r (K) \neq 2

ist.
(Nicht hermitesch im Fall

K = ℝ)

(i i)

nicht alternierend

(i i i)

Im Fall

K = ℝ :

positiv semidefinit (aber nicht positiv definit)

(i v)

nicht ausgeartet

(v)

kein Skalarprodukt

Hier hast du bei der Symmetrie den Fall

c h a r (K) = 2

außer Acht gelassen.

\\\\

Beachte auch: Die Begründungen sind eigentlich wichtiger als die Ergebnisse. Wenn das Ergebnis richtig ist, und die Begründung falsch, dann ist das natürlich nicht gut. (Auch in der Klausur, werden beispielsweise die wahr/falsch-Fragen wieder begründet werden müssen.) Lasse also gegebenenfalls auch bei den Teilen, bei denen du zum richtigen Ergebnis gekommen bist, deinen Lösungsweg kontrollieren (beispielsweise in der Präsenzübung).

AssozialerMathe aktiv_icon

09:00 Uhr, 14.06.2016

Hat sich erledigt

AssozialerMathe aktiv_icon

15:53 Uhr, 14.06.2016

Danke für deine Bemühung !

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