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Binärsequenz in eine kontinuierliche Funktion

Universität / Fachhochschule

Tags: binär, Funktion, priodisch

Empassionate aktiv_icon

15:10 Uhr, 27.02.2013

Ich muss binäre Sequenzen die vollkommen periodisch sind in kontinuierliche Funktionen uebertragen, welche die 0 und 1 der Sequenz als Punkte beinhalten. Bei "01010101..." habe ich eine

cos

funktion aber bei "001001001001..." und weitere Ähnliche Sequenzen finde ich keine mögliche Periodische Funktion, so dass alle 0 und 1 drauf liegen.
Kann jemand mir dringend helfen?
Danke

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Edddi aktiv_icon

09:00 Uhr, 28.02.2013

Mein Vorschlag:

Angenommen du hast die periodische Sequenz

00011 . .

. darzustellen.

Die Periode ist 5.

Wir erzeugen Sinusschwingung mit Nulldurchgang bei ganzen Zahlen:

y = sin (π \cdot x)

Dies erzeugt für

n = 1,2,3,4, . .

\to 000000000 ...

.

Wir erzeugen nun eine Sinusschwingung, die nur jede 5. Periode den Nulldurchgang hat, also bei

0,5,10, . .

y_{5} = sin (π \cdot \frac{x}{5})

Nun multiplizieren wir wie folgt:

y \cdot \frac{1}{y_{5}} = sin (π \cdot x) \cdot \frac{1}{sin (π \cdot \frac{x}{5})}

Dies erzeugt an allen Stellen

n \neq 0,5,10, . .

. die Null, sonst den Grenzwert 5

Wir haben also

5,0,0,0,0,5,0,0,0,0,5, ...

.

Damit der Grenzwert 1 wird multiplizieren wir mit

\frac{1}{5}

y = \frac{1}{5} \cdot sin (π \cdot x) \cdot \frac{1}{sin (π \cdot \frac{x}{5})}

Wir haben nun

1,0,0,0,0,1,0,0,0,0,1, ...

.

Nun verschieben wir noch um eine Einheit nach links, damit die Folge bei 0 anfängt:

y = \frac{1}{5} \cdot sin (π \cdot (x + 1)) \cdot \frac{1}{sin (π \cdot \frac{x + 1}{5})}

Wir haben:

0,0,0,0,1,0,0,0,0,1, ...

.

um nun noch eine 2. 1 dazu zu bekommen addieren wir dazu die um 1 nach links verschobene Funktion der Art:

+ 0,0,0,0,1,0,0,0,0,1, . .

+ 0,0,0,1,0,0,0,0,1,0, . .

- - - - - - - - - - -

= 0,0,0,1,1,0,0,0,1,1, . .

.

Macht also:

y = \frac{1}{5} \cdot sin (π \cdot (x + 1)) \cdot \frac{1}{sin (π \cdot \frac{x + 1}{5})} + \frac{1}{5} \cdot sin (π \cdot (x + 2)) \cdot \frac{1}{sin (π \cdot \frac{x + 2}{5})}

y = \frac{1}{5} \cdot [\frac{sin (π \cdot (x + 1))}{sin (π \cdot \frac{x + 1}{5})} + \frac{sin (π \cdot (x + 2))}{sin (π \cdot \frac{x + 2}{5})}]

. .

. auf diese Art solltest du nun alle binären Perioden darstellen können.

(Hab mal Kurvenverlauf dieses Beispiels angehangen)

;-)

Empassionate aktiv_icon

10:50 Uhr, 28.02.2013

Hi Edddi,

Danke herzlichst fuer die Hilfe.

Faszinierend. Wirklich. Funktioniert einwandfrei.

Gibt es eine Möglichkeit das wir in Kontakt bleiben?

Sollte die Arbeit zum Erfolg fuehren möchte ich die Gelegenheit haben mich zu bedanken:-))

Meine email: empassionate@gmail.com

Herzlichen Dank

Edddi aktiv_icon

11:23 Uhr, 28.02.2013

. .

. über "Nachrichten" im mein Bereich kannst du mir gerne was posten.

Und über Dank freuen wir uns alle hier. Solche "knobligen" Sachen macht doch am meisten Spaß! Dafür müssten wir uns eigentlich bei dir bedanken.

Na dann weiterhin viel Spaß.

;-)

Edddi aktiv_icon

13:05 Uhr, 28.02.2013

. .

. ich muss noch hinzufügen, dass die Funktion an den Stellen, wo sich eine 1 ergäbe, strenggenommen nicht defiert ist. Dort befinden sich sogenannte hebbare Lücken, da im Nenner der Ausdruck

sin (π \cdot \frac{x + 1}{5})

bzw.

sin (π \cdot \frac{x + 2}{5})

ist.

Die 1 ergibt sich ja durch links- bzw. rechtsseitige Annäherung an den Stellen.

Da könnte ein Programm wegen Division durch 0 schonmal abbrechen. Hier müsste man mal sehen, wie man das am besten handeln kann

(z . B

. Verschiebung um eine minimalen Betrag, dann ist die rel. Fehlerabweichung ganz gering)

;-)

Edddi aktiv_icon

17:48 Uhr, 28.02.2013

. .

. analog zu

\frac{x^{2}}{x} = x

kommst du auch für obige Funktion um den Nenner wenn man wie folgt vorgeht:

Der Bruch liegt ja in der Form

\frac{sin (5 \cdot u)}{sin (u)}

vor. Dies ist identisch mit:

16 \cdot {cos}^{4} (u) - 12 \cdot {cos}^{2} (u) + 1

Somit für obige Funktion:

y = \frac{16}{5} \cdot ({cos}^{4} (\frac{π}{5} \cdot (x + 1)) + {cos}^{4} (\frac{π}{5} \cdot (x + 2)))

- \frac{12}{5} \cdot ({cos}^{2} (\frac{π}{5} \cdot (x + 1)) + {cos}^{2} (\frac{π}{5} \cdot (x + 2))) + \frac{2}{5}

Somit ergeben sich keine undefinierten Stellen. Dies ist nicht immer sofort erknbar.

Generell kann man für alle

\frac{sin (n \cdot u)}{sin (u)}

eine ähnliche Darstellung finden.

:-)

Empassionate aktiv_icon

07:10 Uhr, 01.03.2013

Vielen Dank fuer die zusätzliche Information.
In der zeigt sich dass das Program probleme bekommt wenn die Darstellung weitmaschig wird.
Noch eine Frage, mit welcher allgemeinen Regel hast du den Srpung vom Bruch zum Potenz gemacht?
Ich kann mir nicht ausdenken wie ich "sin(n⋅u)/sin(u)" nun in Potenzen umwandle.
Nochmal vielen Dank.

Edddi aktiv_icon

07:55 Uhr, 01.03.2013

Vielfache von Winkelfunktionen:

sin (n \cdot x) = n \cdot sin (x) \cdot {cos}^{n - 1} (x) - (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \cdot {sin}^{3} (x) \cdot {cos}^{n - 3} (x) + (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix}) \cdot {sin}^{5} (x) \cdot {cos}^{n - 5} (x) \pm . .

. .

. jetzt kann man in jedem Summanden

sin (x)

ausklammern:

= sin (x) \cdot [n \cdot {cos}^{n - 1} (x) - (\begin{matrix} n \\ 3 \end{matrix}) \cdot {sin}^{2} (x) \cdot {cos}^{n - 3} (x) + (\begin{matrix} n \\ 5 \end{matrix}) \cdot {sin}^{4} (x) \cdot {cos}^{n - 5} (x) + ...]

. .

. die nächsten Glieder wären:

... - (\begin{matrix} n \\ 7 \end{matrix}) \cdot {sin}^{6} (x) \cdot {cos}^{n - 7} (x) + (\begin{matrix} n \\ 9 \end{matrix}) \cdot {sin}^{8} (x) \cdot {cos}^{n - 9} (x) + . .

. .

. nun kann noch jedes Sinus in Kosinus über

{sin}^{2} (x) + {cos}^{2} (x) = 1

umgeformt werden. Dies ergibt allgemein:

sin (n \cdot x) = sin (x) \cdot \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n - 1}{2} ⌋} {(- 1)}^{k} \cdot (\begin{matrix} n - k - 1 \\ k \end{matrix}) \cdot 2^{n - 2 \cdot k - 1} \cdot {cos}^{n - 2 \cdot k - 1} (x)

. .

. obige Formel ist aus Wikipedia... ich empfehle nachstehendes Verfahren

;-)

Edddi aktiv_icon

08:40 Uhr, 01.03.2013

. .

. am einfachsten wird wohl sein, das Additionstheorem zu nutzen:

sin (x + y) = sin (x) \cdot cos (y) + sin (y) \cdot cos (x)

bzw.

cos (x + y) = cos (x) \cdot cos (y) - sin (x) \cdot cos (y)

dann ist:

sin (2 \cdot x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x)

cos (2 \cdot x) = {cos}^{2} (x) - {sin}^{2} (x) = 1 - 2 \cdot {sin}^{2} (x)

größere Faktoren dann über:

sin (3 \cdot x) = sin (2 \cdot x + x) = sin (2 \cdot x) \cdot cos (x) + sin (x) \cdot cos (2 \cdot x)

sin (3 \cdot x) = 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) \cdot cos (x) + sin (x) \cdot (1 - 2 \cdot {sin}^{2} (x))

sin (3 \cdot x) = 2 \cdot sin (x) \cdot {cos}^{2} (x) + sin (x) - 2 \cdot {sin}^{3} (x)

sin (3 \cdot x) = sin (x) \cdot [2 \cdot {cos}^{2} (x) - 2 \cdot {sin}^{2} (x) + 1]

bei

sin (4 \cdot x) = sin (2 \cdot x + 2 \cdot x)

wär's dann:

sin (4 \cdot x) = 2 \cdot sin (2 \cdot x) \cdot cos (2 \cdot x)

sin (4 \cdot x) = 2 \cdot 2 \cdot sin (x) \cdot cos (x) \cdot (1 - 2 \cdot {sin}^{2} (x))

sin (4 \cdot x) = 4 \cdot sin (x) \cdot cos (x) - 8 \cdot sin (x) \cdot cos (x) \cdot {sin}^{2} (x)

sin (4 \cdot x) = 4 \cdot sin (x) \cdot cos (x) - 8 \cdot cos (x) \cdot {sin}^{3} (x)

sin (4 \cdot x) = sin (x) \cdot [4 \cdot cos (x) - 8 \cdot cos (x) \cdot {sin}^{2} (x)]

usw.

;-)

Empassionate aktiv_icon

18:01 Uhr, 01.03.2013

Das hilft erheblich. Danke.
Wirklich vielen Dank fuer die Muehe.
Super!

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