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Binärsystem

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Tags: Zahlentheorie

 
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anonymous

anonymous

15:18 Uhr, 04.09.2005

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Hallo zusammen,



ich schreibe eine Arbeit,und nämlich vergleiche ich verschiedene Zahlensysteme miteinander (Dezimal-, Binär-, Sexagesimal- und Vigesimalsystem). Jedenfalls habe ich eine Frage bezüglich des Potenzierens im Binärsystem: ist es überhaupt möglich, eine binäre Zahl zu potenzieren resp. Wurzeln zu ziehen? Und könnte man mit dem Duodezimalsystem theoretisch Gleichungen mit 2 unbekannten lösen?

Ich danke im Voraus für eure Antworten.

Herzlichst,



Damian



Antwort
Paulus

Paulus

11:04 Uhr, 05.09.2005

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Hallo Damian



man kann alles, was im Dezimalsystem möglich ist, auch in einem anderen System machen.



Du hast sicher schon herausgefunden, dass das Dividieren im Binärsystem sogar viel einfacher ist als in einem anderen System, da beim Dividieren von Hand jeweil immer nur eine 1 oder eine 0 entstehen kann. Das Dividieren beschränkt sich so auf ein Vergleichen zweier Zahlen. Das kennst du aber sicher alles.



Ich will einmal etwas zum Wurzelziehen sagen. Da gibt es eine Methode, die in Vergessenheit zu geraten droht.



Die Methode geht so:



1) Unterteile die Zahl von hinten in Zweiergruppen.



2) Ziehe aus er vordersten Gruppe die Wurzel.



3) Bestimme den sich ergebenden Rest aus dieser Gruppe (Beispiel folgt)



4) Nimm die nächste Zweiergruppe hinunter.



5) Schneide die letzte Zirrer ab und dividiere durch das Doppelte deines Zwischenergebnisses



6) Traue diesem Ergebnis aber noch nicht so ganz: beim Zurückrechnen ist nämlich die soeben erhaltene Ziffer noch zu Quadrieren und von der ganzen Gruppe (also inklusive abgeschnittener Ziffer) auch noch zu subtrahieren, um den Rest zu bestimmen. Falls die Ziffer zu gross ist, ist sie um 1 zu verkleinern und wieder zurückzurechnen. Wenns immer noch nicht geht, halt wieder verkleinern ...



7) Fahre mit Schritt 3) weiter.



Dies tönt kompliziert, ist es aber nicht! Du musst das nur einige Male durchgerechnet haben, und es geht ganz leicht (ausser dass die Divisoren immer grösser werden). Ich habe diesen Algorithmus sogar einmal programmiert, und es klappt hervorragend! Ich kann mittels dieses Programmes wurzeln aus beliebig grossen Zahlen ziehen, auch wenn diese z.B. 193 Stellen gross sein sollte!



Dieses Verfahren funktioniert in jedem Zahlensystem.



So, ein Beispiel:



Ziehe die Wurzel aus 772641



77'26'41 (Zweiergruppen, von hinten beginnend)



77'26'41 --> 8.. 8 ist die Wurzel aus 64, es werden noch 2 Ziffern

hinzukommen



Zurückrechnen:



77'26'41 --> 8

64

--

13



Nächste zwei Stellen hinunter, die letzte davon abschneiden:



77'26'41 --> 8..

64

--

132'6 : 16 (132 durch das Doppelte des Zwischenresultates (8) ergibt 8



77'26'41 --> 88.

64

--

132'6 : 16 jetzt muss der Rest bestimmt werden:



77'26'41 --> 88.

64

--

132'6 : 16

128

6 4

-----

????? Dies ist das Quadrat der soeben bestimmten Ziffer. man sieht: jetzt ist es zu gross, da ich von 1326 die Zahl 1344 subtrahieren müsste. Man versucht es also mit 7:



77'26'41 --> 87.

64

--

132'6 : 16

112

4 9

-----

1574'1 : 174 und gleich die nächste Gruppe hinuntergenommen, Stelle abgeschnitten und durch das Doppelte des ganzen Zwischenresultates (87)dividiert



77'26'41 --> 879

64

--

132'6 : 16

112

4 9

-----

1574'1 : 174

1566 zurückmultipliziert

8 1 das Quadrat der letzten bestimmten Ziffer

------

0 Es ist aufgegangen! Wäre es nicht aufgegange, ginge es einfach weiter mit 00 als Gruppen, beim Schlussresultat das Komma nicht vergessen!





Im Binärsystem geht das Ganze, wie nicht anders zu erwarten, einfacher, weil man schneller sieht, ob die bestimmte Ziffer stimmen kann oder nicht: ist die zu dividierende Zahl grösser als der Divisor, dann geht es sicher. Ist er aber gleich, dann muss die abgeschnittene Ziffer eine 1 sein.



Obiges Beispiel im Binärsystem:



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 1.........

1

--

1



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 11........

1

--

11'1:10



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 11........

1

--

11'1:10

10'1

----

1 0



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 11........

1

--

11'1:10

10'1

----

101'1 : 110



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 110.......

1

--

11'1:10

10'1

----

101'1 : 110

10110'0 : 1100



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 1101......

1

--

11'1:10

10'1

----

101'1 : 110

10110'0 : 1100

1100'1

------

100111'0 : 11010



10'11'11'00'10'10'00'10'00'01 --> 1101101111

1

--

11'1:10

10'1

----

101'1 : 110

10110'0 : 1100

1100'1

------

100111'0 : 11010

11010'1

--------

110011'0 : 110110

11001100'0 : 1101100

1101100'1

----------

101111111'0 : 11011010

11011010'1

-----------

1010010010'0 : 110110110

110110110'1

------------

1101101110'1 : 1101101110

1101101110'1

------------

0



Es ist etwas mühsam, das mit den abgeschnittenen Stellen schön untereinander darzustellen. Wenn du das aber von Hand einmal nachvollziehst, geht es viel einfacher, die Stellen richtig untereinander zu schreiben...



Mit vielen Grüssen



Paul
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