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Binomialkoeffizient a+b über n =...

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Komplexe Zahlen

Komplexe Analysis

Tags: Binomialkoeffizient, Komplexe Zahlen, Summe, Vollständig Induktion

Isadab-Newton aktiv_icon

23:07 Uhr, 19.01.2020

Guten Tag, ich bekomme bei dieser Aufgabe leider den zweiten Induktionsschritt nicht hin. Also für "n" "n+1" einsetzen.

Es sei

a \in ℂ

. Wir definieren

(\begin{matrix} a \\ 0 \end{matrix}) := 1

und für

k \in ℕ

sei

(\begin{matrix} a \\ k \end{matrix}) := \frac{\prod_{j = 0}^{k - 1} (a - j)}{k!}

.

Aufgabe: Zeigen sie mit vollständiger Induktion nach

n \in ℕ_{0},

dass

(\begin{matrix} a + b \\ n \end{matrix}) = \sum_{v = 0}^{n} (\begin{matrix} a \\ n - v \end{matrix}) (\begin{matrix} b \\ v \end{matrix})

für alle

n \in ℕ_{0}, a, b \in ℂ

gilt.

Lösung:

Induktionsanfang:

Für

n = 0 : . .

. stimmt.

Induktionsschritt:

(\begin{matrix} a + b \\ n \end{matrix}) = \sum_{v = 0}^{n} (\begin{matrix} a \\ n - v \end{matrix}) (\begin{matrix} b \\ v \end{matrix}) \Rightarrow (\begin{matrix} a + b \\ n + 1 \end{matrix}) = \sum_{v = 0}^{n + 1} (\begin{matrix} a \\ n + 1 - v \end{matrix}) (\begin{matrix} b \\ v \end{matrix})

Ich habe schon etliche Umformungen durchgenommen inkl. Indexverschiebungen, die aber alle nicht zum Ziel geführt haben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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