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Binomialkoeffizient und Volldtändige Induktion

Schüler Gymnasium,

Tags: Binomialkoeffizient

 
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Olena

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11:34 Uhr, 14.10.2020

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Hallo kann bitte jemand mir weiter mit der Überlegungen helfen? Ich weis nicht wie ich weiter argumentieren soll um n+1 zu bekommen. Danke im Voraus.

1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:14 Uhr, 14.10.2020

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Du wendest schon das Additionstheorem zu schnell an, denn bei k=0 hast du (nk-1)=(n-1) und das dürfte nicht definiert sein.

Ich würde zuerst schreiben
k=0n+1(-1)k((n+1k)=(n+10)+k=1n+1(-1)k(n+1k)=1+k=1n+1(-1)k(n+1k) und jetzt das Additionstheorem anwenden:

1+k=1n+1(-1)k(n+1k)=1+k=1n+1(-1)k((nk-1)+(nk))=1+k=1n+1(-1)k(nk-1)+k=1n+1(-1)k(nk)=

=1+k=1n+1(-1)k((nk-1)+k=1n(-1)k(nk)=k=1n+1(-1)k((nk-1)+k=0n(-1)k(nk), weil 1=(-1)0(n0).

Jetzt kann man die Ind.-Annahme nutzen, nach der k=0n(-1)k(nk)=0 gilt.

Weiter geht also mit
k=1n+1(-1)k(nk-1)=l=0n(-1)l+1(nl), wo wir durch k=l+1 eine Indexverschiebung gemacht haben. Der Rest sollte klar sein.

Olena

Olena aktiv_icon

18:48 Uhr, 14.10.2020

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Danke für Ihre Antwort. Das hat mir viel geholfen. Ich habe noch ein Verständnisproblem und zwar in einer Beispielaufgabe, wo im Induktionsschluss eines Induktionsbeweises behauptet:
2(^n)+2(^n)=2(^n+1) ist.
In meine Erinnerung: 2(^n)+2(^n)=(1+1)2(^n)
Was wurde da gemeint?
Antwort
ledum

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19:26 Uhr, 14.10.2020

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Was daran verstehst ddi nicht ? (1+1)2n=22n=2n+1
Gruß ledum
Olena

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19:30 Uhr, 14.10.2020

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Ich verstehe nicht wie die Leute von 2hoch n+2 hoch n=2 hoch n+1 bekommen?!?
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pivot

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20:05 Uhr, 14.10.2020

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Klammere 2n aus.

2n+2n=2n()=2n

Danach verwende die Potenzgesetze. Dabei ist 2=21
Olena

Olena aktiv_icon

11:44 Uhr, 15.10.2020

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Könnten Sie bitte noch mal schauen, ob ich richtig verstanden. Danke.

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Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

12:26 Uhr, 15.10.2020

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Sehr ausführlich. :-)

Alles gut, nur den Satz "Aus n+1=(n+1)-1..." verstehe ich nicht. Und auch nicht, wozu er dort steht. Und übrigens kann n+1=(n+1)-1 nie stimmen.
Olena

Olena aktiv_icon

19:59 Uhr, 15.10.2020

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Danke für den Hinweis. Ich habe diesen Schritt anders kommentiert und zwar mit der formalen Formel für die Indexverschiebung.
P.S. Ich muss leide so ausführlich die Aufgaben beschreiben, damit ich was lernen könnte. Ich muss leide viele Wissenslücken schließen.(((Die Indexverschiebung und die Summenaufspaltung habe ich nur heute mit dieser Aufgabe (hoffentlich) verstanden.