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Binomialkoeffizient und Beweis

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Mengenlehre, Teilmenge

alasca

17:20 Uhr, 14.09.2015

Hallo,

ich soll beweisen, dass

B (n, k) =

B(n–1,

k) +

B(n–1, k–1)
wenn

n

kleiner gleich 1 und

0 < k

kleiner gleich

n

ist.

Dafür habe ich als Ansatz das Beispiel

B (4,2) = 6

genommen,
da ich ja die Kombinationen

1,2; 1,3; 1,4; 2,3; 2,4; 3,4

habe.

Also erhalte ich

B (4,2) = B (4 - 1,2) + B (4 - 1,2 - 1)

also

B (4,2) = B (3,2) + B (3,1)

Für mich macht die letzte Zeile aber keinen Sinn mehr. Kann mir das jemand erklären, wo hier der Beweis steckt?

Danke und liebe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen
Mengenlehre

michaL aktiv_icon

17:44 Uhr, 14.09.2015

Hallo,

> Kann mir das jemand erklären, wo hier der Beweis steckt?

Du hast keinen geliefert.

Üblicherweise gibt es in Vorlesungen eine Formel für den Binomialkoeffizienten. Habt ihr so etwas?
Wenn ja, dann setze die Formeln auf beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung ein und forme so um, dass man die Allgemeingültigkeit erkennen kann.

Wenn nicht, dann hast du ein Problem...

Was dahinter steckt, ist recht aufwändig zu tippen. Habt ihr den binomischen Lehrsatz erarbeitet?

Mfg Michael

alasca

17:55 Uhr, 14.09.2015

Wir haben leider keine Formel bekommen. Wir hatten eigentlich überhaupt garnichts zum Thema Binomialkoeffizienten, ich bin nur durch Internet Recherche darauf gekommen, dass die Aufgabe sich darum handeln muss. Das eigentliche Thema der Vorlesung war Mengenlehre und im Anschluss Graphen.
Wir haben im Tutorium nur noch die allgemeine Formel für Binomialkoeffizienten bekommen, also

B (n, k) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

DerDepp aktiv_icon

17:58 Uhr, 14.09.2015

Hossa :-)

B (n, k)

ist die Anzahl der Möglichkeiten, aus

n

Objekten genau

k

auszuwählen (ohne Zurücklegen).

Von diesen

n

Objekten markierst du irgendeins und möchtest weiterhin genau

k

Objekte auswählen. Wenn du das markierte Objekt nicht auswählst, müssen alle

k

Objekte aus den anderen

n - 1

Objekten gezogen werden. Dafür gibt es

B (n - 1, k)

Möglichkeiten. Wenn du das markierte Objekt auswählst, müssen nur noch

k - 1

Objekte aus den anderen

n - 1

Objekten ausgewählt werden. Dafür gibt es

B (n - 1, k - 1)

Möglichkeiten. Daher gilt:

B (n, k) = B (n - 1, k) + B (n - 1, k - 1)

Daher ist auch

B (4, 2) = B (3, 2) + B (3, 1)

B (3, 2)

ist der Fall, das die markierte 4-te Kugel nicht ausgewählt wird und daher die beiden Kugeln aus den verbliebenen 3 Kugeln stammen müssen.

B (3, 1)

ist der Fall, dass die markierte 4-te Kugel ausgewählt wurden und nur noch eine Kugel aus den verbliebenen 3 Kugeln stammen muss.

michaL aktiv_icon

17:59 Uhr, 14.09.2015

Hallo,

> Wir haben leider keine Formel bekommen.
[...]
> Wir haben im Tutorium nur noch die allgemeine Formel für Binomialkoeffizienten bekommen, also
>

B (n, k) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

Dazwischen liegen 2 (in Worten: zwei) Zeilen.

Will sagen: Die Formel reicht doch. Setze diese Formel auf beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung ein und forme solange um, bis du die Allgemeingültigkeit verifiziert hast.

Mfg Michael

alasca

18:14 Uhr, 14.09.2015

Ist das allein also schon der Beweis dafür?

B (n, k) = \frac{n!}{(n - k)! \cdot k!}

B (n, k) = \frac{4!}{(4 - 2)! \cdot 2!}

B (n, k) = \frac{24}{4}

B (n, k) = 6

B (4,2) = 6

Oder wie müsste die vollständige Antwort in einer Prüfung aussehen um den Beweis zu liefern?

michaL aktiv_icon

18:22 Uhr, 14.09.2015

Hallo,

> Ist das allein also schon der Beweis dafür?

Würde dich das denn davon überzeugen?

Du setzt für

n

4 und für

k

2 ein. Meinst du, dass damit ein allgemeiner Beweis erbracht ist? Also auch für andere

n

und andere

k

?

Mfg Michael

alasca

13:49 Uhr, 16.09.2015

Hm naja es steht ja die Bedingung "wenn

n

kleiner gleich 1 und

0 < k

kleiner gleich

n

ist". Ich habe ehrlich gesagt noch nie Beweise aufgestellt und bin mir nicht sicher, was ich sonst noch tun soll. Und ich habe auch ehrlich gesagt nicht ganz so viel Zeit für jede einzelne Aufgabe

: (

michaL aktiv_icon

14:19 Uhr, 16.09.2015

Hallo,

> Hm naja es steht ja die Bedingung "wenn n kleiner gleich 1[...]

Erstens glaube ich, dass das ein Abschreibfehler ist (sicher ist

n \geq 1

gemeint) und zweitens führt das vom Probem weg.

Dein "Beweis" rechnet nur für ein Beispiel nach, also nicht allgmein und schon gar nicht die zu beweisende Gleichung.

Noch einmal:
Du sollst für jedes geeingete

n

(vermutlich

\geq 1)

und jedes geeignete

k

(>0) zeigen, dass folgende Formel gilt:

B (n, k) = B (n - 1, k) + B (n - 1, k - 1)

(In deinem - du nennst es Beweis - kommt die rechte Seite nicht mal vor. Sicher ist das als Beweis unzureichend.)

Mein Tipp (übrigens von vorgestern) lautet(e):
>> setze die Formeln auf beiden Seiten der zu zeigenden Gleichung ein und forme so um, dass man die
>> Allgemeingültigkeit erkennen kann.

Wenn du Schwierigkeiten hast, dem Tipp zu folgen, ist es keine Schande das offen zu sagen. Sicher besser, als mit planlosem Vorgehen Zeit zu verschwenden.

Mfg Michael

alasca

15:21 Uhr, 16.09.2015

Oh ja, tut mir leid, da habe ich mich vertan! Mit dem Tipp kann ich leider nicht wirklich viel anfangen bzw. nicht umsetzen.

supporter aktiv_icon

17:20 Uhr, 16.09.2015

Es gilt:

(\begin{matrix} n - 1 \\ k \end{matrix}) = \frac{(n - 1)!}{k! \cdot (n - 1 - k)!} = \frac{n!}{k! \cdot n \cdot \frac{(n - k)!}{n - k}} = \frac{n! \cdot (n - k)}{k! \cdot n \cdot (n - k)!}

(\begin{matrix} n - 1 \\ k - 1 \end{matrix}) = \frac{(n - 1)!}{(k - 1)! \cdot (n - k)!} = \frac{n! \cdot k}{k! \cdot n \cdot (n - k)!}

Da die Nennr gleich sind, kann man die Zähler addieren:

n! (n - k) + n! k = n! (n - k + k) = n! \cdot n

Mit

n

gekürzt, bleibt übrig:

\frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} = (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

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