Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Binomialkoeffizienten - Erweiterung

Binomialkoeffizienten - Erweiterung

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

manuelqed aktiv_icon

06:17 Uhr, 08.10.2018

Hi, ich bin heute auf eine Aufgabe gestoßen bei der ich mir nicht sicher bin ob mein Lösungsweg korrekt ist.

Für eine reelle Zahl x und eine natürliche Zahl k werde definiert:

(\binom{x}{k}) := \prod_{j = 1}^{k} \frac{x - j + 1}{j} .

Man beweise:

(\binom{x + 1}{k + 1}) = (\binom{x}{k + 1}) + (\binom{x}{k})

Meine erste Frage:
Wenn ich die Aufgabe beweisen will, muss ich dann jeweils (bei einer Induktion) x->x+1 und k->k+1 beweisen?
Dar ich das bei reellen Zahlen überhaupt (x) ? Ich meine x ist zwar element der Reellen Zahlen, aber die Schrittweise für die gegebene Formel ist ja +1, also sollte das gehen, oder?

Da ich wegen den Induktionsrichtung(en) nicht sicher war hab ich die Gleichung umgeformt auf:

(\binom{x}{k}) = (\binom{x + 1}{k + 1}) - (\binom{x}{k + 1})

, damit ich nur den Induktionsschritt für k-> k+1 führen muss.

Induktionsschritt: k->k+1

(\binom{x}{k + 1}) = (\binom{x + 1}{k + 2}) - (\binom{x}{k + 2})

<->

\prod_{j = 1}^{k + 1} \frac{x - j + 1}{j} = \prod_{j = 1}^{k + 2} \frac{x + 1 - j + 1}{j} - \prod_{j = 1}^{k + 2} \frac{x - j + 1}{j}

= \prod_{j = 0}^{k + 1} \frac{x - j + 1}{j + 1} - \prod_{j = 1}^{k + 2} \frac{x - j + 1}{j} = \frac{(x + 1)}{(k + 2)!} (\prod_{j = 1}^{k + 1} (x - j + 1)) - (\frac{x - k - 1}{(k + 2)!}) (\prod_{j = 1}^{k + 1} (x - j + 1))

= \frac{((x + 1) - (x - k - 1))}{(k + 2)!} ((\prod_{j = 1}^{k + 1} (x - j + 1))) = \frac{1}{(k + 1)!} ((\prod_{j = 1}^{k + 1} (x - j + 1)))

\prod_{j = 1}^{k + 1} \frac{x - j + 1}{j} = (\binom{x}{k + 1})

vielen dank schon im voraus :-)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

nRaum aktiv_icon

08:28 Uhr, 08.10.2018

Hi, ich lerne selber noch.

Soweit ich das alles verstanden habe muss bei dem Induktionschritt folgendes passieren:

(\begin{matrix} x \\ k + 1 \end{matrix}) = \prod_{j = 1}^{k + 1} \frac{x - j + 1}{j} = \prod_{j = 1}^{k} \frac{x - j + 1}{j} \cdot \frac{x - (k + 1) + 1}{k + 1}

Jetzt ist es so, dass du deine Behauptung

(\begin{matrix} x \\ k \end{matrix}) = (\begin{matrix} x + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} x \\ k + 1 \end{matrix})

verwendest, um den ersten Faktor wie folgt zu ersetzen

\prod_{j = 1}^{k} \frac{x - j + 1}{j} \cdot \frac{x - (k + 1) + 1}{k + 1}

es folgt nun aus der Behauptung, da ja

\prod_{j = 1}^{k} \frac{x - j + 1}{j} = (\begin{matrix} x \\ k \end{matrix})

ist:

(\begin{matrix} x + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) - (\begin{matrix} x \\ k + 1 \end{matrix}) \cdot \frac{x - (k + 1) + 1}{k + 1} = \prod_{j = 1}^{k + 1} [\frac{x + 1 - j + 1}{j}] - \prod_{j = 1}^{k + 1} [\frac{x - j + 1}{j}] \cdot \frac{x - (k + 1) + 1}{k + 1}

Jetzt musst du zeigen, dass du wieder auf

(\begin{matrix} x \\ k + 1 \end{matrix})

kommst, denn laut deiner Behauptung hast du dort das gleiche stehen.

Jedenfalls verstehe ich die Vollständige Induktion so.

Hoffe dass es dich weiterbringt.

Bin jetzt erstmal arbeiten.. :-)

pwmeyer aktiv_icon

08:41 Uhr, 08.10.2018

Hallo,

wenn es um eine Aussage mit reelllen Zahlen geht, ist vollständige Induktion grundsätzlich unmöglich.

Diese Formel lässt sich (für natürliche Zahlen, ebenso wie für reelle Zahlen) durch direktes Nachrechnen beweisen. Fange mit der Summe rechts an und bringe beide Terme auf einen gemeinsamen Nenner.

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1441292

1441289

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?