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Binomialkoeffizienten korrekt kürzen

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Fakultät

buxti aktiv_icon

11:42 Uhr, 18.05.2012

Moinsen Leute,

bräuchte nochmal die Hilfe beim richtigen Kürzen von Binomialkoeffizienten. Wir hatten die Woche wieder so einen netten Bruch, der da dann ganz locker gekürzt wurde und das hat etwas meine Theorie über den Haufen geworfen.

Der Bruch war:

\frac{(k + 1)! \cdot (k + 1)!}{(2 k + 2)!}

Sollte dann gekürzt ergeben: ((k+1)²)/((2k+2)*(2k+1))

Und das hat dann wie gesagt meine Theorie etwas über den Haufen geworfen. Ich hätte im Nennen die 2 ausgeklammert und das dann gekürzt aber damit komme ich irgendwie nicht auf das Ergebnis. Meine "Theorie für Bauern" war das ich zwei Folgen kürzen kann, wenn das

k

den selben Faktor hat. Also ich hätte locker gekürzt, wenn es gehießen hätte

\frac{(2 k + 1)!}{(2 k)!}

Könnte mir da jemand nochmal einen Denkanstoß geben? Mir ist bewusst, dass ich immer mit der Folge anfange und dann immer einen abziehe, aber ich komme da leider trotzdem nicht drauf.
Besten Dank schonmal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

hagman aktiv_icon

12:11 Uhr, 18.05.2012

Der Angabe

\frac{(k + 1)! (k + 1)!}{(2 k + 2)!} = \frac{{(k + 1)}^{2}}{(2 k + 2) (2 k + 1)}

kann ich nicht zustimmen.
Im Fall

k = 2

steht links zum Beispiel

\frac{3! \cdot 3!}{6!} = \frac{1}{20},

rechts hingegen

\frac{3^{2}}{6 \cdot 5} = \frac{3}{10}

MBler07 aktiv_icon

12:32 Uhr, 18.05.2012

HI

Ich stimme hagmann zu. Da wurde falsch gekürzt. Oder falsch abgeschrieben...

Zu deiner Theorie:
Beachte, dass es sich um Fakultäten handelt. Da kann man nicht einfach ausklammern.
Bsp:

(2 k + 2)! = (2 k)! \cdot (2 k + 1) \cdot (2 k + 2) \neq 2 (k + 1)!

Am besten fängst du damit an, die Fakultät in dieser Art auseinanderzuziehen. Und schaust dann, was sich kürzen lässt

buxti aktiv_icon

14:01 Uhr, 18.05.2012

Okay top, dann habe ich mir wohl umsonst den Kopf zerbrochen.
Also kann das nicht mehr weiter gekürzt werden was?
Allerdings meine ich mal gesehen zu haben, dass das auch ausgeklammert werden kann.

Also:

(2 k + 2)!

gekürzt

(2 (k + 1))!

Die Klammern sind da ganz wichtig.

2 (k + 1)!

macht keinen Sinn da stimme ich zu.
Aber mein Ansatz wäre doch theoretisch mmöglich oder?

MBler07 aktiv_icon

14:06 Uhr, 18.05.2012

Ich verstehe deinen Ansatz noch nicht so ganz. Kannst du ihn noch mal etwsa ausführlicher erklären bzw. ein Beispiel aufschreiben?

buxti aktiv_icon

14:56 Uhr, 18.05.2012

Also: noch zwei offene Fragen:

- den Ursprungsterm:

\frac{(k + 1)! \cdot (k + 1)!}{(2 k + 2)!}

kann ich dann wohl nicht mehr kürzen. Korrekt?

- mein Ansatz wäre bei eben diesem Term gewesen die 2 auszuklammern
Sprich:

\frac{(k + 1)! \cdot (k + 1)!}{(2 (k + 1))!}

Theoretisch wäre das Ausklammern der 2 doch möglich oder?
Wobei ich mich dann frage, ob ich da nicht alles runterkürzen kann, da ich ja im Zähler und Nenner jeweils zweimal die

(k + 1)!

habe.
Falsch gedacht?

MBler07 aktiv_icon

15:09 Uhr, 18.05.2012

Mir fällt momentan keine Möglichkeit zum kürzen ein.

Du kannst die 2 so ausklammern. Hast dann allerdings nicht viel davon, da du die 2 und

k + 1

nicht trennen kannst.
Wichtig: Im Zähler ist eine Multiplikation und im Nenner eie Addition! Du könntest wenn überhaupt (also ohne Fakultät) nur einmal

k + 1

kürzen.

Matlog aktiv_icon

15:51 Uhr, 18.05.2012

Wenn man unbedingt will, dann kann man jede Menge kürzen:

\frac{(k + 1)! \cdot (k + 1)!}{(2 k + 2)!} = \frac{(k + 1)!}{(2 k + 2) \cdot (2 k + 1) \cdot ... \cdot (k + 2)}

Allerdings geht dann die geschlossene Form verloren, was ja nicht erstrebenswert ist.

Was man machen kann:

\frac{(k + 1)! \cdot (k + 1)!}{(2 k + 2)!} = \frac{(k + 1)! \cdot (k + 1)!}{(2 k + 2) \cdot (2 k + 1)!}

(Das sieht übrigens der von Buxti genannten Umformung ziemlich ähnlich!)

= \frac{(k + 1) \cdot k! \cdot (k + 1)!}{(2 (k + 1)) \cdot (2 k + 1)!} = \frac{k! \cdot (k + 1)!}{2 \cdot (2 k + 1)!}

Aber was das bringen soll, das weiß ich auch nicht!

buxti aktiv_icon

18:05 Uhr, 18.05.2012

Besten Dank schonmal für das ganze Feedback! Wir sollten das ganze schonmal üben, da wir damit auch bei der Konvergenz von Reihen hantieren werden.
@ Matlog:
Deine Schritt kann ich überwiegend nachvollziehen und sind auch sinnvoll allerdings habe ich da noch zwei Fragen zu:

- du hast das umgeschrieben in(2k+2)*(2k+1)! und dann in der linken Klammer die 2 ausgeklammert. Verstanden. Also darf ich dementsprechend nicht schon aus

(2 k + 2)!

eine 2 kürzen, sondern erst diesen Schritt vollziehen?

- das selbe hast du dann wohl auch bei

(k + 1)!

gemacht richtig?

(k + 1)

ausgeklammert und dann mit

k!

weitergemacht um dann problemlos das

(k + 1)

zu kürzen? Das echt ein toller Trick...besten Dank!

Matlog aktiv_icon

18:15 Uhr, 18.05.2012

Das haben ja viele Helfer bereits eingehend erklärt.
Ich sage noch: Immer einzelne Faktoren gegeneinander kürzen. Fakultäten sind viele Faktoren auf einmal. (Oder gleich die ganze Fakultät kürzen, wenn´s geht.)

buxti aktiv_icon

12:54 Uhr, 19.05.2012

Besten Dank!

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