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Binomialverteilung

Schüler Gymnasium, 8. Klassenstufe

Tags: Gleichungen, Wahrscheinlichkeitsrechnung

cr4zy4fun aktiv_icon

20:46 Uhr, 09.04.2013

Hallo,

ich brauche bei einer Mathematik Aufgabe zum Thema
Binomialverteilung Hilfe...

Die Aufgabe lautet:

In einem "Nachrichtenkanal" wird ein Zeichen mit der
Wahrscheinlichkeit

p

richtig übertragen.
Eine Nachricht besteht aus 8 Zeichen. Mit welcher
Wahrscheinlichkeit werden höchstens zwei Zeichen falsch
übertragen?
(a)Rechne zuerst allgemein(?) (b)und dann für

p = 0,9

.

Als wir diese Aufgabe dann im Unterricht verglichen, meinte
mein Lehrer die Lösung wäre:

a)

1. allgemein

p :

Wahrscheinlichkeit für fehlerfreie Übertragung

2.

1 - p :

Wahrscheinlichkeit für fehlerhafte Übertragung

n = 8; k = 0,1,2; X :

Anzahl der fehlerhaft übertragenen Zeichen

Gleichung:

P (X = K) = (n

über

k) \cdot (p^{k}) \cdot {(1 - p)}^{n} - k

dann:

P (X <

bzw.=2)=(8 über

0) \cdot (p^{8}) \cdot ({(1 - p)}^{0}) +

(8

über

1) \cdot p^{7} \cdot {(1 - p)}^{1} + (8

über

2) \cdot p^{6} {(1 - p)}^{2}

b)

p = 0,9

p (X \frac{<}{=} 8) = (8

über

0) \cdot ({0,9}^{8}) \cdot 0,1 + (8

über

1) \cdot ({0,9}^{7}) \cdot ({0,1}^{1}) + (8

über

2) \cdot ({0,9}^{6}) \cdot ({0,1}^{2})

= 0,961

Bei

a)

habe ich jetzt das Problem, dass ich nicht verstehe
warum

k

einmal 0 und einmal 8 ist.
Bei b)verstehe ich nicht wie man die Gleichung in

0,961

umwandelt.

Wenn mir jemand weiterhelfen kann, würde ich mich sehr freuen
und würde gerne wissen, ob ich diese Antwort dann per e-m@il
an meinen Mathematiklehrer senden darf.

Danke schon mal im voraus.

MfG cr4zy :-D)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

prodomo aktiv_icon

07:42 Uhr, 10.04.2013

Auch nach mehrmaligem Durchlesen habe ich nur

k = 0,1,2

gefunden und nicht "einmal 0 und einmal 8".
Zur zweiten Aufgabe: mit

p = 0,9

ergibt sich die Wahrscheinlichkeit für höchstens 2 falsche Zeichen zu

P (X \leq 2) = \sum_{k = 0}^{2} (\begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,1}^{k} \cdot {0,9}^{8 - k} = {0,9}^{8} + 8 \cdot 0,1 \cdot {0,9}^{7} + \frac{8 \cdot 7}{1 \cdot 2} \cdot {0,1}^{2} \cdot {0,9}^{6}

= 0,43046721 + 0,38263752 + 0,14880348

= 0,96190821

Hast du generell Verständnisschwierigkeiten mit den Binomialkoeffizienten ?

cr4zy4fun aktiv_icon

13:48 Uhr, 10.04.2013

Ich habe damit (Binomialkoeffizienten)keine Probleme aber da in der Gleichung

p (X = k) = (n

über

k) \cdot p^{k} . .

p (X \leq 2) = (8

über

0) \cdot ({0,9}^{8}) . .

.

das

k

von

(n

über

k) 0

ist und
das

k

von

(p^{k}) 8

ist, komme ich irgentwie nicht weiter.

Wenn mir jemand die Aufgabe mit allen Rechenschritten aufschreiben könnte,
würde ich mich sehr freuen.

MfG cr4zy

: (

prodomo aktiv_icon

16:07 Uhr, 10.04.2013

Du musst berücksichtigen, dass hier die Rollen von

p

und

1 - p

vertauscht sind, da

p

die Wahrscheinlichkeit für ein RICHTIG übertragenes Zeichen ist, aber die Frage nach FALSCH übertragenen gestellt wird. Natürlich könnte man auch "höchstens 2 falsche" als "mindestens 6 richtige" um formulieren, dann hätte man

\sum_{k = 6}^{8} (\begin{matrix} 8 \\ k \end{matrix}) \cdot {0,9}^{k} \cdot {0,1}^{8 - k}

. Jetzt denke noch daran, dass die Binomialkoeffizienten im Pascal - Dreieck spiegelsymmetrisch auftreten, also

(\begin{matrix} 8 \\ 6 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}),

usw.

-fuuu- aktiv_icon

18:08 Uhr, 10.04.2013

ich schließe mich den antworten vor mir an, da ich dasselbe raus habe ;-)

cr4zy4fun aktiv_icon

19:28 Uhr, 11.04.2013

Ok thx many thanks hat mir sehr geholfen...

MfG :-D) cr4zy :-D)

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