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Binomialverteilung bei großem Stichprobeumfang

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Wahrscheinlichkeit

Nina1191 aktiv_icon

15:48 Uhr, 23.09.2010

Hallo:-)Ich verzweifel gerade an einer Aufgabe des Mathebuches "Elemente der Mathematik 12/13" vielleicht kennt das jemand von euch. Die Aufgabe befindet sich auf Seite

445

Nr.12

b

Ein Konzertsaal fasst

720

Personen.

800

Bestellungen für ein Konzert liegen vor. Erfahrungsgemäß werden nur

85 %

der Karten auch abgeholt. Mit welcher Warscheinlichkeit erhalten alle, die eine Konzertkarte wollen, auch eine Eintrittskarte?

Ich denke das der Stichprobenumfang also

n = 800

ist und die Warscheinlichkeit dafür das alle die wollen auch eine Karte bekommen

p = 0,85

ist. Ich habe die Aufgabe so berechnet, doch bin zu keinem Ergebnis gekommen. Ich hoffe jemand kann mir helfen:-) Danke im Voraus:-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

QPhma aktiv_icon

01:09 Uhr, 25.09.2010

Ich sehe folgenden Ansatz:
Man hat einen Topf mit

85 %

weißen Kugeln und

15 %

schwarzen Kugeln. Eine weiße Kugel bedeutet, die Karte wird abgeholt, eine schwarze bedeutet, die Karte wird nicht abgeholt. Jetzt greift man

800

mal in den Topf, so oft, wie Karten bestellt wurden, und sieht, ob die Karte abgeholt wird. Gefragt ist nach der Wahrscheinlichkeit, daß man höchstens

720

weiße Kugeln zieht, denn nur soviel Plätze sind vorhanden.
Diese Situation kann man mit einer Binomialverteilung beschreiben und es gilt:

P (X \leq 720) = \sum_{k = 0}^{720} (\begin{matrix} 800 \\ k \end{matrix}) {0,85}^{k} \cdot {0,15}^{800 - k}

Wegen der großen Zahlen ersetzt man die Binomialverteilung durch eine Normalverteilung.

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot p^{k} \cdot {(1 - p)}^{n - k} \approx Φ (\frac{k - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}) - Φ (\frac{k - 1 - n \cdot p}{\sqrt{n \cdot p \cdot q}}) \approx \frac{1}{\sqrt{2 π \cdot n \cdot p \cdot q}} \cdot e^{- \frac{{(k - n \cdot p)}^{2}}{2 \cdot n \cdot p \cdot q}}

Die Summe für alle

k

von 0 bis

720

muss durch ein Integral von

- \infty

bis

720

ersetzt werden. Dieses Integral kann man aber nicht ausrechnen. Man erhält die Werte aus Tabellen oder aus Computerprogrammen für das Gauß'sche Fehlerintegral.

(s

. de.wikipedia.org/wiki/Tabelle_Standardnormalverteilung

m-at-he

08:56 Uhr, 25.09.2010

Hallo,

da hat QPhma einen nicht unbedeutenden Hinweis vergessen: Er hat die Funktion bereits normiert und es gibt auch nur Tabellen für die normierte Funktion. Dazu muß man aber auch die Grenzen normieren. Also nicht einfach in die Tabelle gehen und für die rechte Grenze

720

hernehmen!

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