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Binomielle paarweise Auswahl von Eiskugeln

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient, Paar, ziehen ohne zurücklegen

timmy96 aktiv_icon

21:28 Uhr, 06.08.2019

Hallo,
auch wenn es diese Aufgabe hier in diesem Forum schon einmal gegeben hat, so hab ich den Lösungsweg noch nicht ganz verstanden.

Vorweg: Ich hab das Buch "Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik in Aufgaben und Beispielen" in der Hand, in der Auch die Lösungen zu den Aufgaben stehen. (jedoch keine Lösungswege)

Es dreht sich um folgende Aufgabe:

>

Eine Eisdiele verfügt über 8 verschiedene Eissorten. Es soll ein Eisbecher zu 4 Kugeln zusammengestellt werden.

>

Unter der Annahme, dass jede Zusammenstellung von 4 Kugeln (unter Beachtung der Reihenfolge) mit der gleichen Wahrscheinlichkeit erfolgt, bestimme man die Wahrscheinlichkeit dafür, daß

> c)

je 2 Kugeln von der gleichen Eissorte sind.

Die richtige Lösung (laut Buch) lautet:

\frac{\frac{8!}{(8 - 2)!}}{8^{4}} = 0,01367

"Nehme für das erste Paar 8 Möglichkeiten und für das zweite Paar 7 Möglichkeiten

(= 56

Günstige). Teile durch alle Möglichkeiten."

Meine Frage:
Nun habe ich mir beim eigenen Lösungsversuch zusätzlich zu den

56

Möglichkeiten überlegt, dass man auch die möglichen Vertauschungen der jeweils zwei Eis-Kugeln mit einrechnen müsste. Also:

Statt:

A A B B

Auch:

A B B A

A B A B

\frac{\frac{8!}{(8 - 2)!} \cdot ((\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) \cdot \frac{1}{2})}{8^{4}} = 0,08203

Wieso ist dem nicht so? Es ist doch explizit in der Aufgabe mit angegeben, dass die Reihenfolge berücksichtigt wird. Auch sehe ich hierbei kein Widerspruch zu "je 2 Kugeln von der gleichen Eissorte", da ich ja durchaus "Schoko, Vanille, Schoko, Vanille" entnehmen kann, was laut Aufgabenstellung nicht "Schoko, Schoko, Vanille, Vanille" entspricht.

Vielen Dank!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

anonymous

23:37 Uhr, 06.08.2019

Hallo,

ich kann eine kleine Milchmädchenrechnung anbieten:

Unter Berücksichtigung der Kugelreihenfolge sind

8^{4} = 4096

alle Eis, darunter sind

8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 = 1680

Eis ohne doppelte Kugel,

\frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} \cdot 3 \cdot \frac{4!}{2!} = 2016

Eis mit genau drei Sorten und zwei gleichen Bällchen,

\frac{8 \cdot 7}{2!} \cdot 1 \cdot \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 168

Eis mit genau zwei Sorten und davon je zwei Bällchen,

\frac{8 \cdot 7}{2!} \cdot 2 \cdot \frac{4!}{3!} = 224

Eis mit genau zwei Sorten und drei gleichen Bällchen,

8 Eis mit vier gleichen Bällchen.

1680 + 2016 + 168 + 224 + 8 = 4096

.

Die Aufgabe verstehe ich nun so,
dass die Chance auf ein Eis mit höchstens
drei verschiedenen Sorten ermittelt werden soll.
Die ist

\frac{2016 + 168 + 224 + 8}{4096} = \frac{2416}{4096} = \frac{151}{256} = 0,58984375

.

Kannst du hier eventuell mal die Original-Aufgabenstellung hochladen ?

\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{4!} + \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{3!} \cdot 3 + \frac{8 \cdot 7}{2!} + \frac{8 \cdot 7}{2!} \cdot 2 + 8

\frac{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5}{24} + \frac{8 \cdot 7 \cdot 6}{2} + \frac{8 \cdot 7}{2} + 8 \cdot 7 + 8

\frac{8 \cdot 7 \cdot 5}{4} + 8 \cdot 7 \cdot 3 + 4 \cdot 7 + 56 + 8

2 \cdot 7 \cdot 5 + 8 \cdot 7 \cdot 3 + 28 + 56 + 8

70 + 168 + 28 + 56 + 8

330

ist übrigens die Anzahl der tatsächlich unterschiedlichen Eis...

Roman-22

02:26 Uhr, 07.08.2019

Die Aufgabenstellung ist doch klar genug formuliert um davon auszugehen zu können, dass bei

c)

nur zwei Sorten in der Tüte sein sollen, und zwar, wie die Aufgabenstellung es formuliert, je Sorte zwei Kugeln.

Vorweg in aller Kürze: Ich denke, dass deine Lösung richtig ist und die Buchlösung falsch. Allerdings ist dein Zahlenwert falsch, weil du vermutlich beim Eintippen eine Division durch 2 vergessen hast.

Die Buchlösung ist nur dann richtig, wenn unter

c)

die WKT dafür gefragt wäre, dass die ersten beiden Kugeln von der gleichen Sorte sind und die beiden anderen Kugeln von einer anderen Sorte (aber ebenfalls gleich).
Das Buch zählt also zB Erdbeer-Erdbeer-Malaga-Malaga mit, aber Erdbeer-Malaga-Malaga-Erdbeer nicht. Für diese Interpretation gibt aber die Formulierung von

c)

keinen Anlass, auch wenn das in der Praxis meist so sein wird, wenn ich eine Tüte mit vier Kugeln und nur zwei Sorten bestelle.
Die Buchlösung berücksichtigt also durchaus eine Reihenfolge, aber eben nur

A - A - B - B

und

B - B - A - A,

weil die gleichen Kugelpaare als untrennbar angesehen werden, was meiner Ansicht nach nicht der Fragestellung entspricht. Auch die vier weiteren möglichen Anordnungen

A - B - A - B, A - B - B - A, B - A - A - B

und

B - A - B - A

müssen berücksichtigt werden, weshalb dann die Lösung das Dreifache der im Buch angegebenen Lösung ist.

Du hast das Problem an der Buchlösung durchaus richtig erkannt, dass da nämlich nicht alle Reihenfolgen der Kugeln mitgezählt wurden.
Ich kann den Gedankengang hinter deiner Rechnung zwar nicht ganz nachvollziehen, aber sie ist jedenfalls richtig.
Ich hätte die Anzahl der möglichen Zusammenstellungen so berechnet:

1)

Die beiden Sorten können auf

(\begin{matrix} 8 \\ 2 \end{matrix}) = 28

Möglichkeiten aus den acht zur Verfügung stehenden gewählt werden

[

Kombination ohne Wiederholung]

2)

Die Plätze für die zwei Kugeln der einen Sorte können auf

(\begin{matrix} 4 \\ 2 \end{matrix}) = 6

Arten gewählt werden, die Plätze für die andern zwei kugeln sind damit dann auch schon vorgegeben.
Man kann

2)

auch als Permutation mit Wiederholung sehen

\to \frac{4!}{2! \cdot 2!} = 6

.

Insgesamt kommt man dann eben auf

28 \cdot 6 = 168

mögliche Tüten mit, wie von der Angabe verlangt, je 2 Kugeln von der gleichen Eissorte. Und damit ist die gesuchte WKT

\frac{168}{8^{4}} \approx 4,102 %

.
Dein Wert ist fälschlicherweise doppelt so groß - du hast vermutlich vergessen, den Faktor

\frac{1}{2},

den du bei deiner Rechnung im Zähler stehen hast, mit einzutippen.

timmy96 aktiv_icon

20:29 Uhr, 07.08.2019

Danke. Tatsächlich hab ich das

\frac{1}{2}

noch nachträglich ergänzt und vergessen das Ergebnis anzupassen.
Wie bei der bereits beschriebenen Herangehensweise dachte ich mir folgendes:
Nehme für das erste Paar 8 Möglichkeiten und für das zweite Paar 7 Möglichkeiten

(= 56

Günstige). Zusätzlich multipliziere mit der Hälfte aller Möglichkeiten eine 2-elementige Auswahl aus 4 Elementen zu bilden.(Die Hälfte deshalb, weil doppelte Vorkommen wie AABB und BBAA nur einfach gezählt werden sollen. Dividiere durch alle Möglichkeiten

(| Ω |)

.

@Roman-22
Nachdem ich nun deinen Weg gesehen habe, verstehe ich, dass meine Denkweise etwas kompliziert war.
Vielen Dank auf jeden Fall. Das hat mir gezeigt dass ich nicht gänzlich an meinen kombinatorischen Fähigkeiten zweifeln sollte.

Viele Grüße

HAL9000

09:13 Uhr, 08.08.2019

> Die Aufgabenstellung ist doch klar genug formuliert um davon auszugehen zu können, dass bei c) nur zwei Sorten in der Tüte sein sollen, und zwar, wie die Aufgabenstellung es formuliert, je Sorte zwei Kugeln.

"Klar genug" würde ich nicht sagen: Man könnte sich auch auf den Standpunkt stellen, dass "je 2 Kugeln von der gleichen Eissorte sind" bedeutet, dass jede Auswahl von 2 aus den 4 Kugeln ergibt, dass sie derselben Sorte angehören - das wäre dann eine verklausulierte Formulierung des Fakts, dass alle vier Eiskugeln derselben Sorte angehören. :-)

D.h.: Etwas präziser bzw. unmissverständlicher hätte man hier schon formulieren können/müssen, also etwa "2 Sorten mit je 2 Kugeln" o.ä.

anonymous

10:49 Uhr, 08.08.2019

Hallo HAL9000,

Ja, je zwei Kugeln von der gleichen Sorte kann man
als vier Kugeln einer Sorte oder zwei paare
zweier Sorten auffassen, hatte ich auch,
den Gedanken, stimme ich Dir zu...
Denn, so sagt der Mathematiker doch "es gibt..."
und meint damit "es gibt mindestens..." und erst,
wenn er "es gibt genau..." sagt, schließt er andere
Fälle aus...

Roman-22

12:19 Uhr, 08.08.2019

@HAL9000
Natürlich hast du Recht, dass "je 2 sind gleich" den Mathematiker zu der Interpretation "paarweise gleich" verleitet, was dann bedeutet, dass es sich um vier Kugeln von nur einer Sorte handeln soll.
Mein "klar genug" hab ich daher durchaus bewusst so formuliert, denn sonnenklar, eindeutig und mathematisch wasserdicht ist die Formulierung keineswegs und sie könnte relativ leicht repariert werden.
Und auch wenn man wohlwollend die Formulierung so interpretiert, dass von zwei Sorten je 2 Kugeln gemeint sind, kann man ja auch immer noch monieren, dass nicht explizit angegeben ist, dass es zwei verschiedene Sorten ein sollen.
Im Vergleich zu dem Formulierungsschrott, den wir gerade auch hier im Forum leider immer wieder sehen (wenn Lehrer "Anwendungsaufgaben" aus dem Ärmel schütteln wirds meist grimmig), war die angegebene Formulierung aber beinahe schon wohltuend. Jedenfalls konnte man, selbst mit geringem guten Willen, mit sehr hoher Wahrscheinlichkeit die Absicht des Aufgabenerstellers entnehmen, zwei unterschiedliche Eissorten mit je zwei Kugeln zu meinen. Für mich jedenfalls "klar genug".
Die Anmerkung war auch getriggert durch die etwas irritierende Interpretation von Greg Pyler - Zitat:"Die Aufgabe verstehe ich nun so, dass die Chance auf ein Eis mit höchstens drei verschiedenen Sorten ermittelt werden soll.".
Diese Interpretation konnte ich nun beim besten Willen der etwas missglückten Aufgabenformlierung nicht entnehmen.

P.S.: Und wenn man sich die eigenwillige Musterlösung ansieht, wird klar, dass der Aufgabenersteller entweder seine eigene Aufgabe nicht ganz verstanden hat, oder aber Zusatzbedingungen im Hinterkopf hatte, die er im Aufgabentext vergaß anzugeben.

anonymous

14:30 Uhr, 08.08.2019

Ja, höchstens drei Sorten,
also mindestens eine doppelt
war Flash for Fantasy -
ich wollte zum Diskurs anregen damit,
räusper...

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