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Binomialkoeffizienten Beziehung nachweisen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Binomialkoeffizient, Folgen und Reihen

PV999 aktiv_icon

19:04 Uhr, 19.02.2019

Moin, bräuchte etwa Hilfe bei einer Binominalkoeffizienten Aufgabe.

Für die Binomialkoeffizienten mit

n, m, k

∈ IN und

k

≤

m

≤

n

weise man folgende
Beziehungen nach:

(weiß leider nicht wie man das hier ordentlich eintippt)

n

über

m \cdot m

über

k = n

über

k \cdot n - k

über

m - k

also:

\frac{n!}{m! \cdot (n - m)!} \cdot \frac{m!}{k! \cdot (m - k)!} = \frac{n!}{k! \cdot (n - k)!} \cdot \frac{(n - k)!}{(m - k)! \cdot (n - m)!}

Man muss jetzt ja eigentlich nur eine der beiden Seiten so umformen, sodass die andere bei raus kommt. Aber mit den Fakultäten finde ich das nicht ganz einfach.

Danke im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

pwmeyer aktiv_icon

19:33 Uhr, 19.02.2019

Hallo

links kannst du

m!

kürzen und rechts

(n - k)!

und schon steht auf beiden Seiten dasselbe.

Gruß pwm

PV999 aktiv_icon

19:54 Uhr, 19.02.2019

Stimmt, danke schonmal dafür, aber gibt es auch noch ein Weg bei dem man alles irgendwie erst aus multipliziert ? Wäre natürlich hier ein Umweg, aber fürs Verständnis wie man mit den Fakultäten umgeht wäre glaub ich es nochmal gut das nachzuvollziehen.

anonymous

22:30 Uhr, 19.02.2019

Mit Fakultäten zu rechnen ist eigentlich ganz einfach.
Das ! bedeutet, du multiplizierst alle Natürliche Zahlen von 1 bis zu der Zahl, die davor steht.

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5

Schau mal auf deinem Taschenrechner, da müsste irgendwo so ein Fakultätssymbol drauf sein. Und gib irgendeine Zahl davor ein. Bei

5!

müsste

120

rauskommen.

0! = 1

1! = 1

2! = 1 \cdot 2

3! = 1 \cdot 2 \cdot 3

10! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot 10

etc.

Mit Fakultäten kannst du auch rechnen. Hier ein paar Beispiele:

1! + 2! = 1 + (1 \cdot 2) = 3

5! - 4! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) - (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) = 120 - 24 = 96

Vorsicht!: Du musst die Zahlen ausmultiplizieren, bevor du sie abziehst. Zwischen der Zahl und dem Fakultät steht kein Mal:

5! - 4! \neq (5 - 4)!

5! \cdot 4! = (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4) = 120 \cdot 24 = 2880

\frac{5!}{4!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{5}{1}

Übe einfach ein bisschen von Hand und mit deinem Taschenrechner kannst du dann nachprüfen.

So funktioniert das auch, wenn du Variablen benutzt. Lass dich davon nicht verwirren. Stell dir vor, es wäre eine Zahl(ist es ja auch). Dann kannst du es dir einfacher vorstellen.

a! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot a

(wenn

a > 6)

Was bedeutet das dann wohl, wenn du auf das a Eins drauf addierst? Du gehst einen Schritt weiter, da die Zahl, die um Eins größer wie a ist, direkt auf a folgt.
Normale Zahl:

5! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5

(5 + 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot (5 + 1) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6

Variablen:

a! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot a

(a + 1)! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot a \cdot (a + 1)

Jetzt kannst du damit wieder leicht rechnen, indem du das wegkürzt, was in beiden vorkommt:

\frac{(a + 1)!}{a!} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot a \cdot (a + 1)}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot ... \cdot a} = \frac{(a + 1)}{1}

In deinem angesprochenen Fall ist das etwas komplizierter, aus der Aufgabe verstehen zu wollen, wie man mit Fakultäten rechnet, da die Aufgabe nicht darauf abzielt und du keine Zahlenwerte hast. Aber man könnte folgenden Ansatz versuchen.
Gegeben:

k

≤

m

≤

n

Daraus folgt:

k! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k

m! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot (k - 1) \cdot k \cdot (k + 1) \cdot ... \cdot m

n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot ... \cdot k \cdot ... \cdot m \cdot ... \cdot n

wobei jeweils

k = m = n

gelten könnte, aber nicht muss.

Hoffe das hilft dir vom Verständnis her.
Schaue dir vielleicht noch den Wiki Artikel an. Der erklärt es ganz gut.

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