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Binominalkoeffizienten addieren?!

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

wollentier aktiv_icon

19:51 Uhr, 17.01.2010

Soo hallo zusammen :)

ich bin hier eben auf folgendes gestoßen (tut mir leid für die schlecht schreibweise)

(n+2 über k+1) = (n+1 über k+1) + (n+1 über k)

also richtig ist das ... konnte ich dank TR prüfen^^

nur kann ich das nicht nachvollziehen. Wie rechnet man das per hand oder zumindest wie müsste man vorgehen?

ich denke ihr könnt mir wie immer helfen und bedanke mich schonmal an dieser stelle :)

wollentier

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

hagman aktiv_icon

20:02 Uhr, 17.01.2010

Kommt darauf an, wie ihr

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

definert habt.
1. Standard-Rekursionsgleichung für Binomialkoeffizienten: Im Pascalschen Drieck ist jeder Eintrag die Summe der beiden darüber.
2. Falls

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

definert ist als Koeffizient von

x^{k} \in {(1 + x)}^{n} :

Der Koeffizient von

x^{k + 1} \in {(1 + x)}^{n + 2}

ergibt sich wegen

{(1 + x)}^{n + 2} = {(1 + x)}^{n + 1} + x \cdot {(1 + x)}^{n + 1}

genau wie angegeben als Summe der Koeffizienten con

c^{k}

und

x^{k + 1} \in {(1 + x)}^{n + 1}

3. Falls

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix})

definiert ist als Anzahl der k-elemetigen Teilmengen einer n-Menge:
Seit

M

eine

(n + 2)

-Menge und

a \in M

. Dann zerfallen die

(k + 1)

-Mengen

\subset M

in die

(k + 1) -

Mengen

\subset M \ {a}

zuzüglich die

k -

Mengen

\subset M \ {a},

die ja durch Hinzufügen von a zu

(k + 1) -

Mengen werden.
4. Falls

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) := \frac{n!}{k! (n - k)!}

ergibt sich

(\begin{matrix} n + 1 \\ k + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} n + 1 \\ k \end{matrix}) = \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! (n - k)!} + \frac{(n + 1)!}{k! (n + 1 - k)!}

= \frac{(n + 1)!}{(k + 1)! (n + 1 - k)!} \cdot ((n + 1 - k) + (k + 1)) = \frac{(n + 2)!}{(k + 1)! (n + 1 - k)!} = (\begin{matrix} n + 2 \\ k + 1 \end{matrix})

wollentier aktiv_icon

22:44 Uhr, 17.01.2010

danke für die antwort ... habs begriffen glaub ich :D

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