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Binomische Umformung

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Tags: Binomialkoeffizient

RM777 aktiv_icon

13:02 Uhr, 19.02.2019

Hallo ich möchte zeigen, dass

\sum_{k = 1}^{p} (\binom{p + 1}{k}) 2^{k} = \sum_{k = 1}^{p} (\binom{p + 1}{k}) 2^{p + 1 - k}

ist.

Was muss ich hier machen. Ich weiß schon, dass die Binommialkoeffizienten symetrisch sind. Aber wie kann ich das hier benutzen? Ich weiß nicht wie ich es aufschreiben soll. Bitte hilft mir.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

HAL9000

14:02 Uhr, 19.02.2019

Index-Umkehr: Die Summation über

k = 1, 2, \dots, p - 1, p

entspricht via Substitution

j := p + 1 - k

der Summation über

j = p, p - 1, \dots, 2, 1

, also de facto ebenfalls

j = 1, 2, \dots, p - 1, p

(beim bloßen Summenwert kommt es ja nicht auf die feste Reihenfolge der Summanden an). Damit ist

\sum_{k = 1}^{p} (\binom{p + 1}{k}) 2^{k} = \sum_{j = 1}^{p} (\binom{p + 1}{p + 1 - j}) 2^{p + 1 - j}

.

Und jetzt greift die von dir erwähnte Symmetrie

(\binom{p + 1}{p + 1 - j}) = (\binom{p + 1}{j})

, und der Nachweis ist komplett.

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