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Binomischer Lehrsatz/ Binomialkoeffizient

Universität / Fachhochschule

Tags: Aufgabe, Binomialkoeffizient, Binomischer Lehrsatz

anonymous

11:30 Uhr, 19.10.2014

Hallo!

Habe bei folgender Aufgabe Probleme:

Bestimmen Sie

(\binom{n + 1}{k + 1})

unter Verwendung von

(\binom{n}{k})

und

(\binom{n}{k + 1})

.

Mein Lösungsansatz bisher:
(Ich habe die Binomialkoeffizienten erstmal ausgeschrieben und dann die Ausdrücke weiter vereinfacht. Ich weiß, dass ich die beiden Brüche jetzt auf denselben Nenner bringen muss, damit ich sie addieren kann. Aber ich weiß nicht wie.)

(\binom{n}{k})

(\binom{n}{k + 1})

(\binom{n + 1}{k + 1})

\frac{n!}{(n - k)! * k!} + \frac{n!}{(n - (k + 1))! * (k + 1)!} =

\frac{n!}{(n - k)! * k!} + \frac{n!}{(n - k - 1)! * (k + 1)!} =

\frac{(n - 1) * n!}{(n - k)! * k!} + \frac{(n - 1) * n!}{(n - k - 1)! * (k + 1) * k!} =

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

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11:39 Uhr, 19.10.2014

Im Zähler hast du dich vertan, du meinst sicherlich

n! = n \cdot (n - 1)!

aber dort solltest du

n!

lieber so stehen lassen.
Du kannst jetzt den linken Bruch mit

k + 1

und den rechten mit

n - k

erweitern.

anonymous

12:34 Uhr, 19.10.2014

Meinst du so:

\frac{n! * (k + 1)}{(n - k)! * k! * (k + 1)} + \frac{n! * (n - k)}{(n - k - 1)! * (k + 1) * k! * (n - k)}

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12:41 Uhr, 19.10.2014

Ja, nun solltest du erkennen, dass die Nenner gleich sind, dann zu einem Bruch zusammenschreiben etc.

anonymous

12:47 Uhr, 19.10.2014

Muss ich im linken Bruch das k! in k(k-1)! umschreiben, damit ich sehe, dass die Nenner gleich sind? Weil im linken Bruch fehlt im Nenner dieses (n-k-1)!

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14:32 Uhr, 19.10.2014

(n - k)! = (n - k) \cdot (n - k - 1)!

also steht in beiden Nennern

(n - k)! \cdot (k + 1)!

anonymous

16:07 Uhr, 19.10.2014

Achso ok, das hab ich nicht gewusst, also wenn ich die Brüche dann addiere und im Nenner wieder alles zusammenfasse, habe ich:

\frac{n! * (k + 1) + n! (n - k)}{(n - k)! * (k + 1)!}

richtig?

Aber wie kann ich das im Zähler zusammenfassen? Oder kann ich vielleicht (n-k) und (k+1) wegkürzen, also im Zähler und im Nenner?

Tschldigung, dass ich so oft nachfrage, ich hab das vorher noch nie mit Binomialkoeffizienten gemacht und ich finde es schwer, dass da noch irgendwie Fakultäten dabei sind =(
Und vielen Dank, dass du mir so hilfst!!! =)

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16:16 Uhr, 19.10.2014

So wie

(k + 1)! = (k + 1) \cdot k!

gilt eben auch

(n - k)! = (n - k) \cdot (n - k - 1)!

das folgt sofort aus der Definition der Fakultät. Du solltest nun

n!

im Zähler ausklammern. So wie du das vorgeschlagen hast, darf man nicht kürzen, denn aus Differenzen und Summen kürzen bekanntlich nur die Dummen. ;-)

anonymous

16:33 Uhr, 19.10.2014

Dann habe ich im Zähler n!+n!*n stehen bzw. n*(n-1)! +n*(n-1)!*n.

Wie kommt man jetzt auf n+1 im Zähler? Und im Nenner steht ja auch noch (n-k)!*(k+1)! Das (n-k)! muss auch noch irgendwie weg :O

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17:44 Uhr, 19.10.2014

n! + n! \cdot n = n! \cdot (1 + n) = (n + 1)!

anonymous

18:24 Uhr, 19.10.2014

Vielen Dank, ich habe es jetzt verstanden, danke danke danke danke danke, du hast mir wirklich sehr geholfen!!!

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20:07 Uhr, 19.10.2014

Keine Ursache :-)

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