Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Binomischer Lehrsatz, Induktion

Binomischer Lehrsatz, Induktion

Schüler Ausbildungsstätte,

Tags: bionischer Lehrsatz, Indexverschiebung, Induktion

SoNyu

21:55 Uhr, 13.09.2013

Hi, ich habe eine Frage zum Beweis für den binomischen Lehrsatz.
Ich konnte den Beweis zwar durch Induktion führen (hat auch lange genug gedauert...), aber habe in der Aufgabenstellung einen Hinweis, den ich, meiner Meinung nach, nicht verwendet habe.

Ich springe mal direkt zum Induktionsschritt.
Der Hinweis ist:

(\binom{n + 1}{k + 1}) = (\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k + 1})

und Indexverschiebung.

Induktionsschritt

n \to n + 1

(a + b)^{n + 1} = (a + b)^{n} (a + b) = (a + b) \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k}

= \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1}

Jetzt ziehe ich aus der ersten Summe den ersten Summand raus und aus der zweiten Summe den letzten Summand, und verschiebe so den Index:

= (\binom{n}{0}) a^{n + 1 - 0} b^{0} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n + 1 - k} b^{k} + (\binom{n}{n}) a^{n - n} b^{n + 1} \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1}

Zusammenfassen:

= a^{n + 1} + b^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} + \sum_{k = 0}^{n - 1} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k + 1}

Jetzt verschiebe ich den Index der zweiten Summe wieder, damit ich die Summenzusammenfassen kann:

= a^{n + 1} + b^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{n - (k - 1)} b^{k - 1 + 1}

Zusammenfassen:

= a^{n + 1} + b^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k}) a^{n - k} b^{k} + \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n}{k - 1}) a^{n + 1 - k} b^{k}

Jetzt fasse ich die Summen zusammen:

= a^{n + 1} + b^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} ((\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1})) a^{n + 1 - k} b^{k}

Hier bin ich jetzt verunsichert, ob ich hier den Hinweis verwende, auch wenn es nicht so aussieht. Ich weiß aber, dass

(\binom{n}{k}) + (\binom{n}{k - 1}) = (\binom{n + 1}{k})

ist. Das hatten wir so zwar nirgends gesagt bekommen, ich weiß es aber weil ich mich mit dem Binomialkoeffizient in der Vergangenheit auseinandergesetzt hatte. Diese Beziehung kann man ja auch durch stumpfes nachrechnen leicht zeigen indem man einfach die Definition des Binomialkoeffizienten verwendet.

Also:

= a^{n + 1} + b^{n + 1} \sum_{k = 1}^{n} (\binom{n + 1}{k})

Jetzt füge ich die vorangestellten Summanden wieder vorne und hinten an und verschiebe den Index ein letztes mal:

= \sum_{k = 0}^{n + 1} (\binom{n + 1}{k})

q.e.d

Meine Frage ist nun, ob ich obigen Hinweis hier tatsächlich nirgends verwendet habe?

Vielen Dank im voraus.

mfg

Edit: Komischerweise werden in den letzten beiden Schritte nicht alles angezeigt, wenn ich es jedoch bearbeiten möchte, steht hier alles wie es soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pivot aktiv_icon

23:59 Uhr, 13.09.2013

Hallo,

ich denke schon, dass du den Hinweis verwendest hast.
Wenn du bei dem gegebenen Hinweis, jeweils bei den Binomialkoeffizienten bei k und k+1 Eins abziehst (Indexverschiebung), dann kommt genau die Identität heraus, die du von dir aus angegeben hast.

Grüße,

pivot