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Binomischer Lehrsatz, Konstant finden

Universität / Fachhochschule

Binomialkoeffizienten

Tags: Binomialkoeffizient

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17:50 Uhr, 03.10.2018

Hey ich will Folgende Aufgabe lösen:

Finde den Konstanten in

{(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{30}

Ich habe erst die allgemeine Lösung gefunden:

(\frac{30}{r}) x^{14 - 2 r} \cdot {\sqrt{x}}^{- r}

(Ignoriert das Geteiltzeichen in der Klammer)

Ich bin mir nicht sicher wie ich weiter machen soll.
Mein Ansatz wäre das wenn der exponent 0 ist bei

x^{14 - 2 r}

so habe ich den Konstanten.
Also löse ich die Gleichung so:

14 - 2 r = 0 \Leftrightarrow r = \frac{14}{2} = 6

Der Konstant ist also 6

Habe ich einen Fehler gemacht oder ist 6 die Lösung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kombinatorik: Ziehen ohne Reihenfolge und ohne Zurücklegen

rundblick aktiv_icon

18:22 Uhr, 03.10.2018

{(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{30} . .

.

"Habe ich einen Fehler gemacht.."

hm - ja, mir scheint dein Braten ist angebrannt..(auch wenn

\frac{14}{2}

nicht 6 ..sondern 7 wäre ?! )

\to

wie kommst du bei der Hochzahl bei

x^{14 - 2 r}

auf die

\to 14 . .

. ?

{(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot a^{n - k} \cdot b^{k}

schreib das allgemeine Glied - ohne den Faktor

(\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) -

nun mal auf mit:

a = x^{2}

b = (- x^{- \frac{1}{2}})

n = 30

\to a^{n - k} \cdot b^{k} = ... .

.
.

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18:48 Uhr, 03.10.2018

Oh hehe anstatt von

14

sollte dort

60

stehen.

Weil ich doch

{(x^{2})}^{30 - r} = x^{2 (30 - r)} = x^{30 - 2 r}

Das macht die ganze aber nicht viel richtiger als vorher oder?

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18:49 Uhr, 03.10.2018

Oh hehe anstatt von

14

sollte dort

60

stehen.

Weil ich doch

{(x^{2})}^{30 - r} = x^{2 (30 - r)} = x^{30 - 2 r}

Das macht die ganze aber nicht viel richtiger als vorher oder?

rundblick aktiv_icon

18:54 Uhr, 03.10.2018

.
"Das macht die ganze aber nicht viel richtiger als vorher oder? "

wieso denn?

mach doch nun mit dem richtigen Term

\to a^{n - k} \cdot b^{k} = x^{... .}

weiter und ermittle für welches

k

der

\to

Exponent von

x

gleich

\to 0

wird
was bekommst du dann für

k .

. und was für die sich damit ergebende gesuchte Konstante ..

\to {(a + b)}^{n} = \sum_{k = 0}^{n} (\begin{matrix} n \\ k \end{matrix}) \cdot a^{n - k} \cdot b^{k} \to ...

{(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{30} =

. ? .

\to {(x^{2})}^{30 - k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k} =

x^(??)

PS
ist der Braten noch im Ofen .. oder wird von dir heute nichts mehr serviert...?
.

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19:30 Uhr, 03.10.2018

Ist also die lösunh

30

?

Und, ob der Braten fertig ist oder iocht kommt föllig auf den auf den Betrachter an. Meiner Meinung nach ist er vielleicht schon fertig - was aber wesentlich wichtiger ist - was meinst du?

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19:30 Uhr, 03.10.2018

Ist also die lösunh

30

?

Und, ob der Braten fertig ist oder iocht kommt föllig auf den auf den Betrachter an. Meiner Meinung nach ist er vielleicht schon fertig - was aber wesentlich wichtiger ist - was meinst du?

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19:30 Uhr, 03.10.2018

Ist also die lösunh

30

?

Und, ob der Braten fertig ist oder iocht kommt föllig auf den auf den Betrachter an. Meiner Meinung nach ist er vielleicht schon fertig - was aber wesentlich wichtiger ist - was meinst du?

rundblick aktiv_icon

19:40 Uhr, 03.10.2018

.
"Ist also die lösunh

30

? "

... ... ... ... .

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... . .

. NEIN !

Vorschlag:
wäre es nicht eine gute Idee zu lesen und zu machen, was dir vorgeschlagen wird?

also: du sollst

\to {(x^{2})}^{30 - k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k} = {(- 1)}^{k} \cdot x^{60 - 2 k} \cdot x^{- \frac{k}{2}}

ausrechnen .. (warum? ->siehe oben

!!)

(Tipp: was gibt

x^{p} \cdot x^{q} =

?) und die sich dann ergebende Hochzahl von

x

notieren :

\to ... .

.

und dieser so gefundene Term sollte im nächsten Schritt ausgewertet werden, dh
das

k

so berechnen , dass diese Hochzahl den Wert 0 bekommt

mach , wenn du noch willst, also mit diesen Schritten weiter (und notiere die Ergebnisse

!)

.

.

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20:00 Uhr, 03.10.2018

" "Ist also die lösunh

30

? "

... ... ... ... .

... ... ... ... .

. NEIN ! "

Kein Grund zu panik, ich schaffe das schon noch!

Also nun habe ich Folgendes gemacht:

{(x^{2})}^{30 k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k} = x^{60 - 2 k - \frac{k}{2}}

60 - 2 k - \frac{k}{2} = 0 \Leftrightarrow 2 k + \frac{k}{2} = 60 \Leftrightarrow k = 24

Ist das nun richtig, ich hoffe mal ja.

rundblick aktiv_icon

20:05 Uhr, 03.10.2018

. .

. Richtig!

: \to

für

k = 24

wird die Hochzahl von

x

den Wert 0 haben ..

und jetzt musst du also nur noch herausfinden, wie denn nun der in der Aufgabenstellung
gefragte konstante Summand der Binomentwicklung von

{(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{30}

aussieht

\to

...

?

.

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20:11 Uhr, 03.10.2018

Und das mache ich wie?

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20:15 Uhr, 03.10.2018

Warte ich weiß, keine angst

rundblick aktiv_icon

20:22 Uhr, 03.10.2018

.
" Und das mache ich wie? "
Woher soll ich wissen, wie du das machst ..-:-)

Mein Vorschlag:
schreibe einfach nur genau den Summanden mit der Nummer

k = 24

der Entwicklung auf

\to

{(x^{2} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{30} = \sum_{k = 0}^{30} (\begin{matrix} 30 \\ k \end{matrix}) \cdot {(x^{2})}^{30 - k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k}

\to

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20:23 Uhr, 03.10.2018

Ja so habe ich mir das auch gedacht nur das

x

stört mich irgendiwe

rundblick aktiv_icon

20:32 Uhr, 03.10.2018

.
"Ja so habe ich mir das auch gedacht"

schön, dass du denkst - aber eigentlich solltest du doch schlicht nur

k = 24

einsetzen bei

(\begin{matrix} 30 \\ k \end{matrix}) \cdot {(x^{2})}^{30 - k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k} =

?

und dich so nebenbei staunend wunderen, was dann aus dem

x

so wird ..

also: mach dir doch bitte noch diese LETZTE MÜHE

\to

und gönne uns die Früchte deiner Tat

\to . .

.

.

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20:43 Uhr, 03.10.2018

(30 ... 24) \cdot x^{12} \cdot - x^{12}

was soll ich damit nun?

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21:00 Uhr, 03.10.2018

HAHAHAA WAS MACH ICH HAHA

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21:06 Uhr, 03.10.2018

So ist die Antwort

- 593775

rundblick aktiv_icon

21:07 Uhr, 03.10.2018

.
"(30...24)⋅x^12⋅-x^12 was soll ich damit nun?

saugute Frage ..
Vorschlag : schreib das alles neu und dann bitte richtig auf: für

k = 24 \to

(\begin{matrix} 30 \\ k \end{matrix}) \cdot {(x^{2})}^{30 - k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k} =

?

erste Hilfe:

(\begin{matrix} 30 \\ 24 \end{matrix}) \cdot x^{(60 - 2 \cdot 24)} \cdot {(- 1)}^{24} \cdot {(x^{- \frac{1}{2}})}^{24} = (\begin{matrix} 30 \\ 24 \end{matrix}) \cdot {(- 1)}^{24}

*(....?....)

was gibt zB

(- \frac{1}{2}) \cdot 24 =

? usw...
und ganz nebenbei:
kannst du dich noch dunkel daran erinnern, warum du stundenlang gearbeitet
hast um die schöne Zahl

24

zu erhalten?

.

haHA ->"So ist die Antwort

- 593775

? "

...

. NEIN

. .!

aber wer wird denn alles immer gleich so negativ sehen ?!
.

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21:13 Uhr, 03.10.2018

Naja dann gebe ich auf ich bin einfach noch viel zu dumm. Danke trotzdem für ihre Mühe

rundblick aktiv_icon

21:34 Uhr, 03.10.2018

.
nun ja -
du hast doch nach stundenlanger Mühe erfolgreich herausbekommen,
dass aus

{(x^{2})}^{30 - k} \cdot {(- x^{- \frac{1}{2}})}^{k}

mit

k = 24

dann schlicht

x^{0}

wird .. oder?
(und

x^{0}

ist bekanntlich gleich

+ 1)

also wird mit

k = 24

aus

(\begin{matrix} 30 \\ k \end{matrix}) \cdot {(x^{2})}^{30 - k} \cdot {((- 1) \cdot x^{- \frac{1}{2}})}^{k} \Rightarrow (\begin{matrix} 30 \\ 24 \end{matrix}) \cdot (+ 1) = (\begin{matrix} 30 \\ 24 \end{matrix}) = + 593775

- das ist der gesuchte konstante Summand
du warst ja dicht dran -
warum dein Minuszeichen nicht stimmt, wirst du sicher auch noch selbst nachvollziehem..
(kleiner Tipp dazu: was gibt

{(- 1)}^{24} =

? )

ok?

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