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Binomischer Lehrsatz mit 1/3

Schüler Technische u. gewerbliche mittlere u. höhere Schulen, 7. Klassenstufe

Tags: Binomischer Lehrsatz

bleedinghina aktiv_icon

14:21 Uhr, 10.06.2013

Ich hab meine Mathe Sa zurück bekommen und morgen Prüfung jedoch verstehe ich eine verbesserung nicht!

bei

\int (\frac{x^{3}}{\sqrt[3]{24 - x^{4}}}) d x

steht ich darf das in der Wurzel nicht trennen ist ok.. aber dann steht BINOMISCHER LEHRSATZ

\sqrt[3]{24 - x^{4}}

BINOMISCHER LEHRSATZ!

Also meine Vorgangsweise:

{(24 - x^{4})}^{\frac{1}{3}} =

weiter weiß ich jetzt nämlich nicht...

prodomo aktiv_icon

14:38 Uhr, 10.06.2013

Leider hast du nicht gepostet, wie deine Lösung aussah.
Dein Integrand ist ein sogenanntes vollständiges Differential,

d . h

. der Zähler ist ein Vielfaches der Ableitung des Nenners. Das

x^{4}

im Nenner wird nämlich durch die Kettenregl zu

4 \cdot x^{3}

. Da jetzt die Hochzahl

- \frac{1}{3}

ist, muss sie nach der Intergration

\frac{2}{2}

sein. Die endgültige Stammfunktion gewinnt man durch Vergleich. Es ist

\frac{d}{d x} {(24 - x^{4})}^{\frac{2}{3}} = \frac{2}{3} \cdot {(24 - x^{4})}^{- \frac{1}{3}} \cdot (- 4 \cdot x^{3}) = - \frac{8}{3} \cdot \frac{x^{3}}{{(24 - x^{4})}^{\frac{1}{3}}}

. Also ist deine Stammfunktion

- \frac{3}{8} \cdot {(24 - x^{4})}^{\frac{2}{3}}

. Alles klar ?

bleedinghina aktiv_icon

15:01 Uhr, 10.06.2013

Also das mit

x^{4} = 4 \cdot x^{3}

habe ich nur bei Differenzieren verwendet.
Bei Integrieren ist es

\int (x^{4}) = \frac{x^{5}}{5} + c

Jedoch finde ich unten bei der langen Rechnung die angebliche binomische Formel wieder.. die musste ich ausrechnen.

Warum ich meinen Lösungsweg nicht geschrieben habe: ich habe keinen.

prodomo aktiv_icon

15:07 Uhr, 10.06.2013

Ja, ich habe ausgenutzt, dass Integrieren die Umkehrung von Differenzieren ist. Insofern stimmen wir überein. Diese Aufgabe mit dem binomischen Lehrsatz anzugehen, macht nicht viel Sinn mit Schülern, die darin wenig Übung haben, schon gar nicht mit der Hochzahl

\frac{1}{3}

. Probiere doch einfach mal, meinen Vorschlag abzuleiten...

bleedinghina aktiv_icon

15:45 Uhr, 10.06.2013

Also wie ich das verstanden habe soll ich es mit Substitution umgehen, gute Idee ich komme zwar nicht ganz zur Lösung aber ich komme ziemlich weit damit. Danke!

Matlog aktiv_icon

15:49 Uhr, 10.06.2013

Eine Substitution

u = 24 - x^{4}

ist quasi dasselbe wie prodomos Lösungsweg.

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