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Binomsche Reihe für |x|>1

Universität / Fachhochschule

Tags: Binomische Reihe, reih

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15:39 Uhr, 22.04.2019

Wie wendet man die binomische Reihe

(1 + x)^{α} = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{α}{n}) x^{n}

mit

(\binom{α}{n}) = \prod_{k = 1}^{n} \frac{α - k + 1}{k}

und

α \in ℝ

auf ein

x

mit

∣ x ∣ \geq 1

an?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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16:20 Uhr, 22.04.2019

Hallo,

mein Tipp: Verwende

(\binom{α}{n}) = \frac{α \times (α - 1) \times (α - 2) \times \dots \times (α - (n - 2)) \times (α - (n - 1))}{n!}

um die Binomialkoeffizienten zu berechnen.

Wie sehen die ersten Summanden z.B. für

(1 + 1)^{0, 5} = 2^{0, 5}

aus?

Gruß

pivot

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17:21 Uhr, 22.04.2019

Mein rechenweg:

\sum_{0}^{\infty} (\binom{0.5}{n}) 2^{n} = \frac{0.5}{0!} 2^{0} + \frac{0.5 * 0.5}{1!} 2^{1} + \frac{0.5 * - 0.5}{2!} 2^{2} + \frac{0.5 * - 0.5 * - 1.5}{3!} 2^{3} + \frac{0.5 * - 0.5 * - 1.5 * - 2.5}{4!} 2^{4} . . .

Die Ergebnisse:

0.5 - 0.25 - 0.5 - 0.5 - 0.625

Falls es nicht richtig ist bitte den richtigen lösungsweg angeben und das mit den

α - (n - 1)

genauer erklären.

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18:13 Uhr, 22.04.2019

So ähnlich. Auf jeden Fall ist

x^{n} = 1^{n} = 1

, da

(1 + x)^{n} = (1 + 1)^{n}

. Man benötigt somit nur die Binomialkoeffizienten.

n = 0

(\binom{0, 5}{0}) = 1

n = 1

: Hier ist

(α - (n - 1) = (0, 5 - (1 - 1) = 0, 5

. Somit ist es ein Faktor

\frac{0, 5}{1!}

n = 2

Hier ist

(α - (2 - 1) = (0, 5 - 1) = - 0, 5

Somit sind die Faktoren

0, 5

und

- 0, 5

\frac{- 0, 25}{2!}

Bis zu n=4 ist die Summe gleich

1 + 0, 5 - 0, 25 / 2 + 0, 5^{2} \cdot 1, 5 / 6 - 0, 5^{2} \cdot 1, 5 \cdot 2, 5 / 24 = 1, 3984375

Das geht schon in die Richtung von

\sqrt{2} = 1, 41 . . .

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18:44 Uhr, 22.04.2019

Vielen dank für die erklärung.
Aber wie kommt man da auf

(\binom{0.5}{0}) = 1

?
Wäre das dann nicht sowas wie

\frac{0.5 - (0 - 1)}{0!} = \frac{0.5 + 1}{1} = 1.5

?
Den Rest habe Ich aber verstanden.

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18:55 Uhr, 22.04.2019

Absolut richtig deine Beobachtung. Die explizite Darstellung gilt nur für

n \geq 1

. Ansonst gilt ja immer

(\binom{α}{0}) = 1

.

Freut mich, dass der übrige Teil klar ist.

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19:01 Uhr, 22.04.2019

Vielen Dank für die ausführliche Beantwortung meiner Frage.

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03:01 Uhr, 23.04.2019

Gerne doch.

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