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Startseite » Forum » Bis Isomorphie 2 Gruppen Ordnung p2: Zp2 & Zp X Zp
Bis Isomorphie 2 Gruppen Ordnung p2: Zp2 & Zp X Zp
Universität / Fachhochschule
Gruppen
Tags: Gruppen, Ordnung, Primzahl
 
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Zeigen Sie, dass es für jede Primzahl bis auf Isomorphie genau zwei Gruppen der Ordnung gibt: und . Zunächst muss man zeigen, dass NICHT gilt. Die Kardinalität dieser beiden Gruppen ist auf jedenfalls gleich groß. Ich weiß leider nicht, wie ich zeigen soll, dass diese beiden nicht isomorph zueinander sind. Wir haben in der Vorlesung noch gesehen, dass wenn die eine Gruppe abelsch ist, muss auch die andere Gruppe abelsch sein. Allerdings fehlt mir ja dafür wiederum die Gruppenverknüpfung... Ich habe bereits einen Beweis im Netz gesehen, der folgendermaßen geht: Da gibt es ein für das gilt NICHT . Mir ist nicht ersichtlich, warum dies beweist, dass nicht isomorph zu ist, noch, warum ist. Gibt es noch andere Wege, zu beweisen, dass die zwei Gruppe nicht isomorph zueinander sind? zu dem restlichen Beweis weiß ich bereits, dass ich die Klassengleichung irgendwie anwenden muss, allerdings weiß ich nicht, wie mir das weiterhelfen kann... kann mir jemand helfen? Viele Dank Paul Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Der Beweis im Netz ist schlampig aufgeschrieben, aber die Idee ist richtig und einfach. Für jedes Element aus gilt . Und in gibt's Elemente der Ordnung (z.B. ), für welche gilt. Das ist natürlich nicht vereinbar mit der Isomorphie, denn wenn ein Isomorphismus wäre, hätten und , also wäre nicht injektiv. |
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