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Bisektionsverfahren

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Stetigkeit

Tags: Stetigkeit

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18:57 Uhr, 13.06.2019

Hallo, ich hänge hier bei einer Aufgabe fest. Und zwar geht es um folgendes:

5 cos 2 (x)

−

sin 4 (x) = 1

für

x

aus

[0, \frac{π}{2}]

Und zwar soll ich die Gleichung als Nullstellenproblem für eine Funktion

f : [0, \frac{π}{2}] \to R

formulieren und drei Schritte des Bisektionsverfahren berechnen. Ich hänge jedoch im Moment daran das Nullstellenproblem zu formulieren. Weiß nicht so recht, wie das gemeint ist.
Vielleicht könnte mir ja jemand helfen?

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)

Roman-22

19:15 Uhr, 13.06.2019

>

Ich hänge jedoch im Moment daran das Nullstellenproblem zu formulieren.

f (x) := 5 cos (2 x) - sin (4 x) - 1

Und du suchst nun

x

so, dass

f (x) = 0

gilt, Du suchst also die (bzw. eine) Nullstelle der Funktion

f

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19:42 Uhr, 13.06.2019

Danke erstmal. Sorry, hab’s oben falsch aufgeschrieben.
Sollte

5 \cdot {cos}^{2} (x) - {sin}^{4} (x) = 1

sein, aber das wäre ja dann einfach

f (x) = 5 \cdot {cos}^{2} (x) - {sin}^{4} (x) - 1

Jetzt habe ich mal für das Intervall

[0, \frac{π}{2}]

gerechnet

f (0) = 5 - 0 - 1 = 4

f (\frac{π}{2}) = 0 - 1 - 1 = - 2

Dann habe ich das Intervall halbiert

[\frac{1}{4} π, \frac{π}{2}]

f (\frac{1}{4} π) = \frac{5}{2} - \frac{1}{4} - 1 = \frac{5}{4} = 1.25

Dann müsste ich das Intervall ja wieder halbieren

[\frac{1}{8} π, \frac{π}{2}]

f (\frac{1}{8} π) = 3, . .

.

Da bin ich mir jetzt aber nicht mehr so sicher, ob das so stimmt

Ich soll übrigens drei Schritte berechnen

ledum aktiv_icon

22:13 Uhr, 13.06.2019

bisher ist es richtig. du hast aber erst einen Halbierungsschritt gemacht, denk daran, dass du immer das Intervall zwischen einem positiven Wert und einem negativen halbierst, also jetzt nicht

\frac{π}{8}

sondern

\frac{1}{2} (\frac{π}{2} + \frac{π}{4}) = 3 \frac{π}{8}

da hast du eine negativen Wert also der nächste Schritt Mitte Zwisten 3/8pi und\pi/4
um es besser zu verstehen, plotte die Funktion zwischen 0 und

\frac{π}{2}

groß und zeichne jeweils ein was du machst.
Gruß ledum

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22:45 Uhr, 13.06.2019

Vielen Dank. Habe es jetzt nochmal weiter gemacht.

Hätte jetzt nach den drei Schritten das Intervall

[\frac{1}{4} π, \frac{5}{16} π]

und

f (\frac{5}{16} π) = 0.0653

ledum aktiv_icon

00:41 Uhr, 14.06.2019

Hallo
zum Nachrechnen hab ich keine Lust, aber es sieht gut aus:
grüß ledum

ledum aktiv_icon

00:41 Uhr, 14.06.2019

Hallo
zum Nachrechnen hab ich keine Lust, aber es sieht gut aus:
grüß ledum

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09:53 Uhr, 14.06.2019

Danke. Ich hätte nochmal eine Frage zu einer weiteren Aufgabe dazu.
Und zwar soll ich zeigen, dass die Gleichung

5 \cdot {cos}^{2} (x) - {sin}^{4} (x) = 1

im Intervall

[0, \frac{π}{2}]

genau eine Lösung besitzt.

Müsste ich das dann genau so machen, nur anstatt nach einer Nullserie zu suchen, gucken wo es dann 1 ergibt?
Wie kann ich dann aber zeigen, dass es nur genau eine Lösung gibt?

ermanus aktiv_icon

10:22 Uhr, 14.06.2019

Hallo,
mit dem Zwischenwertsatz kannst du rasch zeigen, dass

f (x) = 5 \cos^{2} (x) - \sin^{4} (x) - 1

im angegebenen Intervall
mindestens eine Nullstelle hat. Mit

f ʹ (x)

und dem Satz von
Rolle kannst du zeigen, dass

f

höchstens eine Nullstelle besitzt.
Gruß ermanus

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10:32 Uhr, 14.06.2019

Dass die Funktion eine Nullstelle hat habe ich ja vorher schon gezeigt. Dann müsste ich jetzt also nur noch zeigen, dass es die einzige ist.
Mir sagt leider nur der ZWS was. Der andere Satz sagt mir nichts. Da muss ich mich erstmal zu einlesen

ermanus aktiv_icon

10:35 Uhr, 14.06.2019

Der Satz von Rolle ist nur ein Spezialfall des Mittelwertsatzes,
kannst also auch diesen benutzen ...

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11:32 Uhr, 14.06.2019

Bin jetzt mal so weit gekommen

f (x) = 5 \cdot {cos}^{2} (x) - {sin}^{4} (x) - 1

ist eine stetige Funktion. Also gilt nach dem ZWS im Intervall

[0, \frac{π}{2}]

f (0) = 5

f (\frac{π}{2}) = - 2

f (0) \cdot f (\frac{π}{2}) < 0

gilt, existiert im Intervall mindestens eine Nullstelle.

Dann habe ich die Funktion

f (x)

mal abgeleitet

fˋ(x)

= - 2 \cdot cos (x) sin (x) (2 \cdot {sin}^{2} (x) + 5)

Weiß jetzt aber nicht ,ehr so richtig weiter, wie ich jetzt zeige, dass es nur genau eine Lösung gibt

ermanus aktiv_icon

12:08 Uhr, 14.06.2019

Gäbe es zwei Nullstellen

a, b

, o.B.d.A.

a < b

, also

0 < a < b < \frac{π}{2}

. Dann gäbe es nach dem Mittelwertsatz
ein

ξ

mit

a < ξ < b

mit

f ʹ (ξ) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a} = \frac{0 - 0}{b - a} = 0

,
d.h.

f ʹ

hätte in

(0, \frac{π}{2})

eine Nullstelle.
Das kannst du ja mal prüfen ...

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12:20 Uhr, 14.06.2019

Ich habe die beiden Grenzen vom Intervall mal in die Ableitung eingesetzt.

f´(0) und f´(pi/2)

Habe für beide Null raus bekommen

ermanus aktiv_icon

12:23 Uhr, 14.06.2019

Ich schrieb

(0, \frac{π}{2})

, nicht

[0, \frac{π}{2}]

,
das

ξ

müsste also im Inneren des Intervalls liegen.

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12:37 Uhr, 14.06.2019

Im Intervall

(0, \frac{π}{2})

gibt es keine Nullstelle.
Es gäbe nur Nullstellen im Intervall

[

\frac{π}{2}],

nämlich 0 und

\frac{π}{2}

ermanus aktiv_icon

12:38 Uhr, 14.06.2019

Richtig. Also ...

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12:46 Uhr, 14.06.2019

Also hat die Funktion im Intervall

[0, \frac{π}{2}]

nur eine Nullstelle und daher hat die Gleichung nur eine Lösung

ermanus aktiv_icon

12:49 Uhr, 14.06.2019

Genau :-)
Gruß ermanus

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12:54 Uhr, 14.06.2019

Vielen Dank.

Müsste ich mit dem Bisektionsverfahren für den Beweis noch zeigen, dass f´(x) im Intervall

(0, \frac{π}{2})

keine Nullstelle hat?
Habe mir die Ableitung nur zeichnen lassen und daran hat man gesehen, dass keine Nullstelle in dem Intervall existiert.
Wenn ja, funktioniert das Bisektionsverfahren mit dem offenen Intervall genau so, wie bei einem abgeschlossenen Intervall?

ermanus aktiv_icon

12:57 Uhr, 14.06.2019

Ach so!
Naja der Klammerausdruck kann offenbar nicht 0 werden
und der andere Faktor ist

2 \sin (x) \cos (x) = \sin (2 x)

und die Nullstellen
von

\sin

kennst du doch.

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13:02 Uhr, 14.06.2019

Die nullstellen von sin wären 0 und alle vielfachen von

π

.

Beides liegt jedoch nicht im Intervall

(0, \frac{π}{2})

Also existiert dort keine Nullstelle

ermanus aktiv_icon

13:05 Uhr, 14.06.2019

Ja, die Nullstellen von

\sin (x)

sind die ganzzahligen Vielfachen von

π

,
d.h. die Nullstellen von

\sin (2 x)

sind die Vielfachen von

π / 2

und keines dieser Vielfachen liegt in

(0, π / 2)

, so ist es dann wohl
komplett ...

JJJMath aktiv_icon

13:13 Uhr, 14.06.2019

Vielen Dank für deine hilfe

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