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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Mathematicus aktiv_icon

21:30 Uhr, 18.05.2015

Hallo,
ich brauche Eure Hilfe bei folgender Aufgabe, da ich mir nicht ganz im klaren bin was hier zu machen ist.

Also:

i) Man berechne alle Potenzen

T, T^{2}, T^{3}, T^{4}, . . .

für die Blockmatrix

T = (A, 0; 0, B)

ii)Man berechne exp(T) der Blockmatrix

iii)Man berechne

e x p (v), v = (λ, 1; 0, λ)

Leider wird das Latex-Skript für Matrizen nicht erkannt, ich habe den Zeilenumbruch mit ";" gekennzeichnet!

Die Aufgabe scheint mir irgendwie zu einfach muss ich bei i) nicht einfach

A^{n} u n d B^{n}

schreiben, da eine Diagonalmatrix? -Die Blöcke A und B sind ja nicht näher gegeben.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Mathematicus aktiv_icon

00:29 Uhr, 19.05.2015

Ups, ich hab etwas vergessen. In der Angabe darüber steht A und B sind (n,n)-Matrizen.

peepee aktiv_icon

07:30 Uhr, 19.05.2015

Man kann es auch formal zeigen, aber es reicht für die Anwendung sich zu merken, dass (unter Berücksichtigung der Kommutationsregeln) die Rechenregeln für Blockmatrizen gleich denen für gewöhnliche Matrizen sind.

Mit

A, B \in ℝ^{n \times n}

und

T = [\begin{array}{rcl} A & 0 \\ 0 & B \end{array}]

ist

T^{n} = [\begin{array}{rcl} A^{n} & 0 \\ 0 & B^{n} \end{array}]

und damit

e^{T} = [\begin{array}{rcl} e^{A} & 0 \\ 0 & e^{B} \end{array}]

Für den anderen Teil

musst du

v

in einen diagonalen Anteil

Λ = d i a g {λ}

und einen Nilpotenten Teil

N

zerlegen (der Rest). Man kann zeigen, dass solche Jordan-Matrizen sich immer so zerlegen lassen.

Eine Nilpotente Matrix wird beim Potenzieren irgendwann Null (man konnte den Grad auch irgendwie bestimmen) aber was bedeutet das für das Exponential: Man kann es tatsächlich berechnen. Sagen wir,

N^{2} = 0

. Dann ist

e^{N} = E + N t

denn wenn

N^{2}

gleich Null ist sind natürlich auch alle weiteren Potenzen gleich Null.
also

e^{v} = e^{Λ + N} = e^{Λ} e^{N} .

Die letzte Gleichung gilt, wenn der Kommutator

[N, Λ]

gleich Null ist, was bei den Nilpotenten Matrizen aus einer Jordan-Matrix immer herauskommt.

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