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Bogenlänge berechnen

Schüler

Tags: Kurve

stinlein aktiv_icon

15:48 Uhr, 16.10.2017

Augabe: Berechne die Bogenlänge folgender Kurve!

f (x) = 3 \cdot sin (5 x)

Bitte um Hilfestellung. Ich habe einmal gerechnet, das Ergenis kommt mir aber eigenartig vor!
Dürfte NICHT stimmen. Irgendwo steckt der Fehlerteufel. Vielleicht beim Integrieren ???
Vielen Dank im Voraus!
lg
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

15:50 Uhr, 16.10.2017

Hallo
Willst du uns noch verraten, was du gerechnet hast?
Vielleicht sehen wir ja was, wenn du was zu sehen gibst...

stinlein aktiv_icon

15:53 Uhr, 16.10.2017

Oh, tut mir leid. Sehe eben das Bild ist nicht mitgegangen. Habe mir eben gerade die Wurfgeschichte mit der tollen Sizze angeschaut. Interessiert mich auch!
Hier nochmals der Versuch, ein besseres Bild zu übermitteln.
Vielen Danke für den Einstieg. DANKE!

anonymous

17:56 Uhr, 16.10.2017

"...Fehlerteufel. Vielleicht beim Integrieren?"
Ja, ganz sicher beim Integrieren.
Tipp: Mach immer die Kontrolle (und denk an die Kettenregel).

Es ist aber auch kein ganz einfaches Integral...
Ich bin auch noch am grübeln.

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17:59 Uhr, 16.10.2017

Ich bedanke mich ganz herzlich bei dir. Vielen Dank - ich bin so froh, dass du mir da beistehst.

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17:59 Uhr, 16.10.2017

Ich bedanke mich ganz herzlich bei dir. Vielen Dank - ich bin so froh, dass du mir da beistehst.

Atlantik aktiv_icon

18:37 Uhr, 16.10.2017

Ich habe einen ausführlichen Integralrechner ( mit Rechenweg) im Netz gefunden:

www.integralrechner.de

mfG

Atlantik

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19:58 Uhr, 16.10.2017

Danke Antlantik - sehr nett von dir. Mit diesem Rechner habe ich jetzt herausgefunden, dass
Int_(4x^2)

/ {(x^{2} + 1)}^{4}

ein ziemlich komplexes Gebilde abgibt, nämlich

\frac{cos (5 x) \cdot sin (5 x)}{10} + \frac{x}{2}

Dann hieße es ja so:

⌈ {(1 + \frac{cos (5 x) \cdot sin (x)}{10} + \frac{x}{2})}^{\frac{1}{2}} ⌉_{0}^{\frac{π}{8}} =

ungef.

1,30

Respon

20:38 Uhr, 16.10.2017

Wo hast du diese Aufgabe her ? Das führt

m . M

. zu einem elliptischen Integral.

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20:59 Uhr, 16.10.2017

Hallo, liebe respon. Danke für die Aufklärung. Ich verstehe es selber nicht, die Aufgaben stehen so auf dem Übungszettel, den wir von unserem Lehrer für die kommende Schularbeit erhalten haben. Es heißt dort:
Nr. 4.

b)

Berechne die Bogenlänge fogender Kurven im gegebenen Intervall:

a) x^{2} = 5 y^{3}

Grenzen 0 und 1 ........ist dir schon bekannt. Danke nochmals!
Umdrehen und neue Grenze festlegen hatten wir noch nie gemacht!

b) f (x) = 3 \cdot sin (5 x)

Grenzen 0 und

\frac{π}{8}

c) f (x) = \frac{1}{1 + x^{2}}

Grenzen

- 1; 1

Diese Aufgabe führt schon zu einem sehr komplizierten Differenzial und das müßt man dann noch integrieren ???

d) r (φ) = 2 \cdot e^{φ}

φ

Element 0;2pi
Welche von diesen Aufgaben ist für mich ev.noch lösbar?

anonymous

21:11 Uhr, 16.10.2017

Eventuell

d)

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21:16 Uhr, 16.10.2017

Vielen lieben Dank! Und wie bilde ich

f' (x)

f (x) = 2 \cdot e^{φ}

f' (x) = 2 \cdot e^{φ}

anonymous

21:22 Uhr, 16.10.2017

r (φ) = 2 \cdot e^{φ}

r' (φ) = 2 \cdot e^{φ}

.. und guckst du, was "Wolfram" meint
http://www.wolframalpha.com/input/?i=integrate+sqrt(1%2B(2*e%5Ephi)%5E2)

stinlein aktiv_icon

21:29 Uhr, 16.10.2017

Danke dir für die rasche Antwort.

\int_{0}^{2 Π} \sqrt{1 + 4 \cdot e^{φ} \cdot e^{φ}} = \int_{0}^{2 Π} {(1 + 4 e^{φ} \cdot e^{φ})}^{\frac{1}{2}} =

Soweit richig?
Und das jetzt integrieren!

\frac{3}{2} \cdot (1 + 8 e^{φ} \cdot e^{φ}) \in

den Grenezn von 0 und

2 Π

anonymous

21:34 Uhr, 16.10.2017

Das bringt leider überhaupt nichts. Und

d φ

fehlt .

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21:55 Uhr, 16.10.2017

Danke!
Also:

= {(\sqrt{4 e^{2 φ} + 1} - {tanh}^{- 1} \cdot \sqrt{4 e^{2 φ} + 1})}^{\frac{1}{2}}

in den Grenzen von 0 und

(2 Π)

anonymous

21:58 Uhr, 16.10.2017

Nein, auch nicht ! Wie kommst du auf das ?
Und

{tanh}^{- 1}

sollte man nicht schreiben, es heißt eigentlich

a r t a n h

.
de.wikipedia.org/wiki/Areatangens_hyperbolicus_und_Areakotangens_hyperbolicus#Ableitungen

anonymous

22:07 Uhr, 16.10.2017

\int \sqrt{1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ}} d φ =

?
Substituiere

z = \sqrt{1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ}}

stinlein aktiv_icon

22:25 Uhr, 16.10.2017

Zuerst einmal ein herzliches Danke!Ich kann mich nicht mehr konzentrieren, leider!

\int \sqrt{z} d z

\int z^{\frac{1}{2}} d z = \int z^{\frac{3}{2}} d z = \int {\sqrt{z}}^{3} d z

Und jetzt

z

einsetzen?

anonymous

22:28 Uhr, 16.10.2017

Nein, das ist leider ganz falsch.

stinlein aktiv_icon

22:30 Uhr, 16.10.2017

Zuerst vielen Dank. Kannst du mir noch 2 oder 3 Zeilen vorgeben. Damit ich morgen weiterkomme?
Wäre sehr hilfsbereit von dir.

anonymous

22:34 Uhr, 16.10.2017

Es ist schon spät, machen wir schnell dieses Beispiel.

\int \sqrt{1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ}} d φ

z = \sqrt{1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ}}

bzw.

4 \cdot e^{2 \cdot φ} = z^{2} - 1

d z = \frac{4 \cdot e^{2 \cdot φ} \cdot 2}{2 \cdot \sqrt{(1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ})}} d φ = \frac{4 \cdot e^{2 \cdot φ}}{\sqrt{1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ}}} d φ = \frac{z^{2} - 1}{z} d φ \Rightarrow d φ = \frac{z d z}{z^{2} - 1}

\int \sqrt{1 + 4 \cdot e^{2 \cdot φ}} d φ = \int z \cdot \frac{z d z}{z^{2} - 1} = \int \frac{z^{2}}{z^{2} - 1} d z = \int \frac{- z^{2}}{1 - z^{2}} d z = \int (1 - \frac{1}{1 - z^{2}}) d z = z - a r t a n h (z) (+ C)

Rücksubstitution und Grenzen einsetzen.

stinlein aktiv_icon

22:39 Uhr, 16.10.2017

Das war sehr kulant von dir. Ich danke dir vielmals. Bin heute nicht mehr in der Lage zu rechnen, es war ein langer beschwerlicher Tag. Wünsche dir aber eine gute Nacht. Vielleicht kann ich morgen wieder mit deiner Hilfe rechnen. Deshalb schließe ich die Aufgabe dann erst morgen ab. Danke vielmals Goedel2000 für deine wirklich tolle Unterstützung!
Könnte sein, dass ich jetzt besser weiterkomme! Versuche es nachzuvollziehen! Ich werde berichten!
lg
stinlein

ledum aktiv_icon

23:58 Uhr, 16.10.2017

Hallo stinlein und Goedel
das mit Aufgabe

d

ist schon vom Ansatz her völlig falsch.
da steht ja nicht

f (x)

sondern

r (φ)

das ist eine Spirale.

r

ist der Abstand von

(0,0) φ

der Winkel zur

x -

Achse.

r (φ) = 5

etwa ist ein Kreis mit Radius 5
Habt ihr solche Kurven denn irgendwann behandelt?
der Fehler sollte einem Helfer nicht passieren.
ich bezeichne die Ableitung nach

φ

als

r'

dann gilt

L = \int_{φ_{1}}^{φ_{2}} \sqrt{r^{2} + r'^{2}} d φ

dieses Integral ist leicht zu berechnen.
Herleitung sollte allerdings der Lehrer machen.
Gruß ledum

anonymous

08:00 Uhr, 17.10.2017

Eine Frageder Interpretation. Sowohl "Wolfram" als auch "Geogebra" sind dieser Meinung ( www.wolframalpha.com/input/?i=r(phi)%3D2*e%5Ephi )

stinlein aktiv_icon

17:08 Uhr, 17.10.2017

Zuerst einmal ganz ganz herzlichen Dank für die Unterstützung.
Ich tue mich da besonders schwer. Könntest du mir da weiterhelfen? Ich weiß aus anderen Beiträgen, dass du dich bei Kurven-Bogenlängen-Berechnungen gut auskennst.

Deiner Zeichnung nach zu urteilen ist es keine Spirale, oder? Doch ludum hat geschreiben, dass es sich um eine Spirale handelt. Jetzt bin ich völlig aus dem Konzept. Entschuldigt die ungeschickte Fragestellung.
lg
stinlein

ledum aktiv_icon

18:21 Uhr, 17.10.2017

Hallo
ja, das ist die Darstellung wenn man

r (φ)

wie

f (x)

behandelt. also eine Achse

φ

von

- \infty

bis Zoo und ebenso eine

r

Achse hat. Aber das ist nicht der Sinn von

r (φ)

das ist eine Pokardarstellung, die die (positive) Länge von

r

in Abhängigkeit vom Winkel

φ

zur

x

Achse an gibt. mit x=rcos\phi, y=rsin(\phi) kann man das auch kartesisch darstellen.
mein Bild zeigt die Darstellung von

r (t) = e^{t}

im Bild abzulesen

{(d s)}^{2} = {(d r)}^{2} + {(r d φ)}^{2} = ({(\frac{d r}{d φ})}^{2} + r^{2}) \cdot {(d φ)}^{2}

daraus ds und das integrieren gibt die Bogenlänge.
also

\int_{0}^{2 π} \sqrt{4 e^{2 φ} + 4 e^{2 φ}} d φ = \int_{0}^{2 π} 2 e^{φ} d φ

mich wundert aber weiter, dass so eine aufgäbe auf der Schule kommt und Polardarstellung und Bogenlängen darin nicht behandelt wurden. Verschweigst du uns was stinlein? Was für eine Schule, welche Klasse?
Gruß ledum

stinlein aktiv_icon

18:33 Uhr, 17.10.2017

Zuerst einmal vielen vielen Dank. Ich werde, das, was du mir mitgeteilt hast, versuchen zu verstehen. Danke! Melde mich wieder! Daher schließe ich noch nicht ab!
DANKE, ledum!

ledum aktiv_icon

22:46 Uhr, 17.10.2017

Kannst du uns trotzdem sagen, ob du nur vergessen hast, was polare Darstellungen angeben, oder ob euch dein Lehrer

η

zu eigenen Nachforschungen bringen will Abe wenigstens sagt, dass das

r ((φ)

eine Polarform ist.
und was für eine schule und wo besuchst du, wo es solche Aufgaben gibt?
vielleicht solltest du ja nur das richtige integral hinschreiben als Lösung, das wäre eine "normale" Schulaufgabe.
Gruß ledum

Roman-22

02:58 Uhr, 18.10.2017

Also von der Neilschen Parabel (Aufgabe

a))

solltest du die Bogenlänge exakt und elementar berechnen können. Was du mit "umdrehen und neue Grenzen festlegen" meinst ist mir unklar. Ich gehe davon aus, dass die gegebenen Grenzen x-Grenzen sind und da muss man dann auch keine neuen festlegen. Einfach nach

y

auflösen, differenzieren und in die Formel einsetzen. Ergebnis

= \frac{3 \cdot \sqrt[3]{25}}{25} \approx 0,35088

Aufgabe

b)

führt, wie schon gesagt wurde, auf ein elliptisches Integral zweiter Art und ist wohl nur näherungsweise zu bestimmen. Kann es sein, dass es sich da um eine Übungsaufgabe handelt, bei der ihr näherungsweise numerische Integration (zB Trapezformel oder Simpson) anwenden sollt? Ergebnis

\approx

3,278858.Exakt jedenfalls nicht lösbar, siehe auch die Meinung von Onkel Wolfram dazu.
Bild

Aufgabe

c)

scheint wieder nur ein Fall für eine numerische Integration zu sein (Ergebnis

\approx 2,25917

Und bei Aufgabe

d)

schließe ich mich ledums Meinung an. Auch wenn es Interpretationssache sein mag, weil es nicht explizit da steht, so scheint doch mit hoher Wahrscheinlichkeit die Polardarstellung gemeint zu sein.

Auch mich würde interessieren, welche Schule bzw. welchen Schultyp du besuchst, denn für Schulaufgaben sind das doch, vorsichtig ausgedrückt, zT recht anspruchsvolle Aufgabenstellungen.

stinlein aktiv_icon

10:45 Uhr, 18.10.2017

Ganz ganz herzlichen Dank euch beiden für die Mühe. Ich werde mich jetzt gleich aufmachen und mit Solgfalt versuchen, das nachzurechnen.
Ich besuche die 4. Klasse HTL ET(12. Schulstufe) und bereite mich auf die kommende Schularbeit vor. Derzeit befassen wir uns theoretisch mit Kardioiden, Hypozykloiden, Astroiden und Lemniskaten. Aber die Theorie ist immer anders als die praktische Anwendung bei einer Aufgabe. Die theoret. ERklärungen schreiben wir eben einfach mit. Kaum jemand versteht es. Aufgaben wie auf dem Übungszettel haben wir noch keine gerechnet. Tue mich daher

s e h r

schwer.
Ganz ganz lieben Dank, ledum und Roman-22 und respon, ihr habt mir ja schon so oft geholfen. Leider kennen sich meine Bekannten bei solchen Aufgaben auch nicht aus, sodass ihr meine einzige Stütze seid. Vielen, vielen Dank nochmals an euch. Könnte sein, dass ich abends dann noch eine Rückfrage habe. Bitte lasst mich weiterhin nicht im Stich!

Roman-22

11:12 Uhr, 18.10.2017

Ist es vielleicht so, dass bei euch eine elektronische Rechenhilfe Voraussetzung ist und auch bei Prüfungsarbeiten verwendet werden darf/soll?
Also etwa ein Taschenrechner, der numerisch integrieren kann oder eventuell sogar ein Mathe-Programm wie Geogebra oder Mathcad.
Das könnte zumindest eine Erklärung dafür sein, warum euer Lehrer bei seinen Aufgaben keine Rücksicht darauf nimmt, ob die auftretenden Integrale elementar lösbar sind oder nicht.

Die diversen Rollkurven und auch die Lemniskate habt ihr mit großer Wahrscheinlichkeit in Parameterdarstellung behandelt, vielleicht aber auch in Polarkoordinaten. Ein weiteres Indiz dafür, dass Aufgabe

d)

auch genau so gemeint ist.
Eine Astroide ist übrigens nur eine spezielle Hypozykloide (so wie die Kardioide eine spezielle Epizykloide ist).

stinlein aktiv_icon

17:23 Uhr, 20.10.2017

Ich bedanke mich ganz herzlich für die Rückmeldung. In ca. 3 bis 5 Wochen bekommen wir einen neuen Taschenrechner. Möglich, dass der dann solche Funktionen hat. (Casio)
Ich werde auf alle Fälle davon berichten, sobald ich Näheres weiß.
Könnte ja auch sein, was du vermutest, deshalb haben wir auch nicht ein einziges praktisches Beispiel zu diesen Aufgaben (Kardioide, Hypozykloide, Astroide, Lemniskate usw.) gerechent. Immer nur Theorie!
lg
stinlein

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