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Bogenlänge einer Schleife

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration

Metalmind aktiv_icon

13:32 Uhr, 17.05.2011

Moin, ich habe hier eine Übungsaufgabe, an der ich schon einige Zeit hänge.

Die Aufgabe lautet: Berechnen Sie die Bogenlänge der Schleife

y^{2} = \frac{x}{9} \cdot {(3 - x)}^{2}

im Bereich

0 \leq x \leq 3

Könnte mir bitte jemand sagen wie man dort auf das Ergebnis

L = 4 \cdot \sqrt{3}

komme?

Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Gerd30.1 aktiv_icon

13:58 Uhr, 17.05.2011

Wir betrachten einen der beiden Bögen

: f (x) = (3 - x) \frac{\sqrt{x}}{3}

Bogenlänge ist

\int_{0}^{3} \sqrt{1 + f' {(x)}^{2}} d x,

also
1. Ableitung

f' (x)

bilden (->calc101.com)
2. Funktion

b (x) = \int \sqrt{1 + f' {(x)}^{2}} d x

bestimmen (->calc101.com)
3. Integral I=

{[b (x)]}_{0}^{3}

berechnen
4. Bogenlänge=2*I, weil Doppelbogen

rundblick aktiv_icon

14:02 Uhr, 17.05.2011

du kennst bestimmt die Formel zur Berechnung der Bogenlänge?

nimm also zunächst nur den Teil der Schleife mit

y > 0

dann bekommst du für die Ableitung

y' = \frac{1 - x}{2 \cdot \sqrt{x}}

und wenn du das dann einsetzt, wirst du zu diesem Integral kommen:

\int (\frac{1 + x}{2 \cdot \sqrt{x}}) \cdot d x

mit der Stammfunktion

F (x) = (1 + \frac{x}{3}) \cdot \sqrt{x}

berechnest du dann die halbe Schleifenlänge zu

F (3) - F (0) = 2 \cdot \sqrt{3}

ok?

Metalmind aktiv_icon

15:57 Uhr, 17.05.2011

Ich scheitere leider schon daran die Ableitung aufzustellen, könntest du mir das bitte noch einmal erklären?

Ich habe nun deine Ableitung einfach mal genommen und sie in die Formel eingesetzt, die Formel wäre dann doch aber das Integral von

\sqrt{1 + {[\frac{1 - x}{2 \cdot \sqrt{x}}]}^{2}} \cdot d x

Wie integriere ich das ganze denn dann?

Gruß und Danke!

rundblick aktiv_icon

17:04 Uhr, 17.05.2011

"..wäre dann doch aber das Integral ..
.. ich das ganze denn dann? "

da wirst du zuerst beim Integranden etwas vereinfachen:
im Radikand auf den Hauptnenner bringen und dann zusammenfassen
danach kannst du erst noch die Wurzel ziehen..

und wie der Integrand vereinfacht aussieht, das habe ich dir oben doch schon aufgeschrieben
also bitte etwas mitdenken ..
Jetzt solltest du das einfache Integral ja hoffentlich problemlos erledigen können..

Metalmind aktiv_icon

19:15 Uhr, 18.05.2011

Ich habe das ganze noch einmal durchgerechnet und kam auf das Ergebnis, scheinbar muss ich das Thema nochmal von vorne aufrollen.
Danke für eure Hilfe!

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