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Borel-Cantelli-Lemma Anwendung

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

Knoedelbrot

17:23 Uhr, 15.05.2010

Hallo Leute,

ich hoffe Ihr könnt mir helfen. Meine Stochastik Vorlesung baut sehr stark auf der Maßtheorie auf, ich habe allerdings keine Ahnung davon. Alle bisherigen Versuche mir das selbst bei zu bringen sind gescheitert. Nun muss ich eine Aufgabe lösen und komme nicht weiter.

Gegeben ist das Borel-Cantelli Lemma

Eine Münze mit der Wahrscheinlichkeit p<1/2 für "Zahl" wird wiederholt geworfen. Sei $A_{k}, k \in N$ das Ereignis, dass bei den Würfen $2^{k}, 2^{k} + 1, ..., 2^{k + 1} - 1$ mindestens k mal in Folge "Zahl" fällt. Zeigen Sie, dass

$P [A_{k} tritt für unendlich viele k ein] = 0.$

Hinweis: Defineren Sie das Ereignis $B_{k}^{(j)} = {X_{j} = 1, X_{j + 1} = 1, ..., X_{j + k - 1} = 1}, j, k \in N$

wobei $X_{j = 1}$ bedeutet, dass der j-te Wurf "Zahl" ist.

Nach Borel-Cantelli muss ich jetzt zeigen:

$\sum_{k = 1}^{\infty} P [A_{k}] < \infty$

Nun komme ich aber nicht weiter, habe versucht $A_{k}$ durch $B_{k}^{(j)}$ auszudrücken, damit komme ich aber nicht weiter.

Bitte helft mir.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

17:34 Uhr, 15.05.2010

$A_{k} = ⋃_{j = 2^{k}}^{2^{k + 1} - k} B_{k}^{(j)},$ also
$P (A_{k}) \leq \sum_{j = 2^{k}}^{2^{k + 1} - k} P (B_{k}^{(j)}) = (2^{k} - k + 1) \cdot p^{k} < {(2 p)}^{k}$
$\to$ geometrische Reihe

Knoedelbrot

17:56 Uhr, 15.05.2010

Danke

Dann ist also

$\sum_{k = 1}^{\infty} P [A_{k}] < \sum_{k = 1}^{\infty} {(2 p)}^{k} = \infty$

und das p<1/2, ist somit egal. Oder?

hagman aktiv_icon

18:01 Uhr, 15.05.2010

Nein.
Erstens: Aus $a_{k} < b_{k}$ und $\sum b_{k} = \infty$ folgt nicht $\sum a_{k} < \infty$
Zweitens: Wenn $0 \leq p < \frac{1}{2},$ was kannst du über $q := 2 p$ sagen und folglich über $\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k}$ ?
Es ist nämlich drittens mitnichten $\sum {(2 p)}^{k} = \infty$

Knoedelbrot

18:19 Uhr, 15.05.2010

Ok, wäre ja zu einfach gewesen

$0 \leq q < 1$

Hab leider auch nicht allzuviel Ahnung von geometrischen Reihen, würde aber meinen $\sum_{k = 1}^{\infty} q^{k} < \infty$ , nehme weiterhin an, dass $< \infty$ bedeutet "abzählbar unendlich" und $= \infty$ "überabzählbar unendlich".

Die Aufgabe geht nämlich weiter mit einer Anwendung des zweiten Teils des Lemmas (muss also unter anderen Bedingungen ( $p \geq 1 / 2$ ) $\sum_{k = 1}^{\infty} P [A_{k}] = \infty$ zeigen)

Knoedelbrot

16:08 Uhr, 16.05.2010

Hab jetzt folgendes raus:

$\sum_{k = 1}^{\infty} P (A_{k}) < \frac{2 p}{1 - 2 p} < 1 < \infty$

ist das so richtig?

Und für den zweiten Teil der Aufgabe gilt $p \geq 1 / 2$ und ich habe den Hinweis:
Definieren Sie das Ereignis $E_{i, k} = {X_{j} = 1 für alle j = 2^{k} + i k, 2^{k} + i k + 1, ..., 2^{k} + i k + k - 1}, k \in N und i = 0, ..., ⌊ 2^{k} / k - 1 ⌋$ kannst du mir da auch weiterhelfen?

Fg Andrea

hagman aktiv_icon

16:22 Uhr, 16.05.2010

abzählbar/überabzählbar unendlich: nein, nein nein.

Um den Begriff der Unendlichkeit zu eliminieren:
Wenn (wie hier im maßtheoretischen Zusammenhang) zu $a_{k}, k \in ℕ,$ nichtnegative reelle Zahlen sind, bedeutet der Pixelhaufen
$\sum_{k = 1}^{\infty} a_{k} < \infty$
folgendes:
Es gibt Zahl $a \in ℝ$ so dass für alle $n \in ℕ$ die Ungleichung $\sum_{k = 1}^{N} a_{k} < a$ gilt.

Die Begriffe "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" tauchen dagegen nur auf, wenn man Kardinalitäten von Mengen untersucht. Hierbei taucht das Symbol $\infty$ nicht auf, vielmehr schreibt man beispielsweise
$| ℕ | = ℵ_{0}$ für "Die Menge $ℕ$ ist abzählbar unendlich"
und
$| ℝ | > ℵ_{0}$ für "Die Menge $ℝ$ ist überabzählbar unendlich"

Schließlich: Ob $\sum q^{k} < \infty$ ist (ob die geometrische Reihe konvergiert) oder nicht sollte nicht lediglich auf persönlicher Meinung beruhen

-

Um im Fall $p \geq \frac{1}{2}$ die Divergenz von $\sum P (A_{k})$ zu erhalten, muss man nochmal genauer nachschauen: Wir haben $P (A_{k})$ oben $j$ arecht grob nach oben abgeschätzt - hier ist aber eine Abschätzung nach unten erforderlich.

Knoedelbrot

16:36 Uhr, 16.05.2010

Aber stimmt nun mein Ergebnis für den ersten Teil der Aufgabe?

$\sum_{k = 1}^{\infty} {(2 p)}^{k} = \frac{2 p}{1 - 2 p}$

was für 2p<1 ja irgendwo zwischen Null und Unendlich liegt.

Und wie kann ich $A_{k}$ durch $E_{i, k}$ ausrücken?

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