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Borel'sche Algebra

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

anonymous

17:03 Uhr, 11.11.2019

Guten Abend,

wir haben eine Aufgabe zu Borel'schen Sigma-Algebren bekommen und dazu bräuchte ich ein wenig Hilfe..

folgende Aufgabe:

Zeigen Sie, dass die folgenden Mengensysteme alle die Borel’sche Sigma-Algebra erzeugen.

(i)

E_{1} := {(a, b] : a, b \in ℝ, a < b}

(ii)

E_{2} := {[a, b] : a, b \in ℚ, a < b}

(iii)

E_{3} := {(- \infty, b] : b \in ℝ}

Jetzt weiß ich, dass die Borelsche Sigmaalgebra als die von allen offenen Teilmengen von

ℝ

erzeugte Sigma-Algebra, die alle offenen Mengen in

ℝ

enthält, ist.

Und eine Menge

F

von Teilmengen von Omega Sigmaalgebra heißt, falls folgendes gilt:

i)

die leere Menge ist in

F

ii) Für alle

A \in F

ist

A^{c}

auch in

F

iii) Sei

{(A_{n})}_{n \in N}

eine Folge von Elementen

A_{n} \in F,

dann ist die Vereinigung

A_{n}

mit

n \in ℕ \in F

Wie kann ich aber genau zeigen, dass es sich dabei um eine Borel'sche Algebra handelt? Wir haben da irgendwie keine Axiome besprochen..

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

19:03 Uhr, 11.11.2019

> Wir haben da irgendwie keine Axiome besprochen..

Ihr habt doch aber besprochen, wie die Borelsche Sigmaalgebra definiert ist:

> Jetzt weiß ich, dass die Borelsche Sigmaalgebra als die von allen offenen Teilmengen von R erzeugte Sigma-Algebra,

Und das reicht doch schon:

Sei

A \subseteq ℝ

eine offene Menge, dann gibt es für alle

x \in A

ein offenes Intervall innerhalb

A

, welches

x

enthält, d.h. reelle

c_{x}, d_{x}

mit

c_{x} < x < d_{x}

sowie

(c_{x}, d_{x}) \subset A

. Da die rationalen Zahlen innerhalb der reellen Zahlen dicht liegen, gibt es auch rationale Zahlen

a_{x}, b_{x}

mit

c_{x} < a_{x} < x < b_{x} < d_{x}

, für diese Zahlen gilt dann offenbar auch

(a_{x}, b_{x}) \subset A

. Damit gilt

A = ⋃_{x \in A} {x} \subseteq ⋃_{x \in A} (a_{x}, b_{x}) \subseteq A (*)

,

daraus folgt

A = ⋃_{x \in A} (a_{x}, b_{x})

. Nun ist die Menge der Intervalle

(a, b)

mit rationalen Eckpunkten abzählbar, d.h., diese Vereinigung ist tatsächlich nur eine abzählbare Vereinigung - wohlgemerkt auch bei überabzählbarer Menge

A

!!! Damit gilt für die Borel-Sigmaalgebra

ℬ

die Inklusion

ℬ \subseteq σ (E_{4})

, sofern wir

(iv)

E_{4} := {(a, b) : a, b \in ℚ, a < b}

definieren. Die Gegenrichtung

σ (E_{4}) \subseteq ℬ

ist wegen

E_{4} \subset ℬ

(denn in

E_{4}

sind nur offene Mengen) ohnehin klar.

Was ist dann noch zu tun? Nun, es ist jetzt noch nachzuweisen, dass alle

E_{k}

dieselbe Sigma-Algebra erzeugen. Das geht z.B. so

E_{4} \subset σ (E_{2}), E_{2} \subset σ (E_{1}), E_{1} \subset σ (E_{3}), E_{3} \subset σ (E_{4})

.

Kannst natürlich auch jede andere dir genehme Reihenfolge der vier in dieser "Inklusionskette" wählen, ganz wie es dir gefällt.

anonymous

22:02 Uhr, 12.11.2019

Hey,
ich habe mir deine Antwort gerade durchgelesen und deine Erklärung sehr gut verstanden.

Jetzt bin ich zu dem Entschluss gekommen, dass:

E_{2} \subset σ (E_{1}), E_{1} \subset σ (E_{3}), E_{3} \subset σ (E_{2})

sein mus.

Beispiel:

E_{2}

muss eine Teilmenge von

E_{1}

sein, da

ℚ

dicht in

ℝ

liegt und die Randpunkte ebenfalls, da wir ja ein anderes Intervall haben.
Aber wie kann man das "ordentlich" beweisen? Also rechnerisch..

E_{1}

muss

\subset E_{3}

sein, da

a \in ℝ

ja auch in

\infty \in ℝ

liegt.. aber wie kann man das halt aufschreiben..?

LG

Bearbeitet:

sorry, dass du unten die Teilmengen bereits aufgeschrieben hast, habe ich übersehen.. Ein Beweis wäre trotzdem schön..

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