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Bruch

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Tags: Verständnisfrage

mezmi aktiv_icon

00:07 Uhr, 18.02.2012

Hallo,
ich habe eine kleine Verständnisfrage über Brucherweiterung.

z . B

Ein Bruch sieht folgendermaßen aus:

\frac{- 2 x - 14 x}{7},

das kann aber auch ausgeschrieben werden, somit

: \frac{- 2 x}{7} \frac{- 14 x}{7},

aber wenn ich jetzt diesen ausgeschriebenen Bruch verkürze, kommt ein falsches Ergebnis raus. Ich weiß, dass man den Zähler erstmal zusammenfassen muss, aber warum darf man den Bruch nicht einzeln verkürzen, warum muss man ihn zuerst zusammenfassen, obwohl, wenn wir nach der Regel " Punktrechnung gilt vor Strichrechnung" richten, dann muss doch zuerst der Bruch verkürzt werden oder??

auf eine ausführliche, nachvollziehbare, plausible, ernsthafte Antwort würde ich mich sehr freuen.
Außerdem ein dickes Danke im vorraus

MrBlum aktiv_icon

06:28 Uhr, 18.02.2012

Wenn du deinen Bruch auf zwei aufteilst, muss ein Rechenzeichen dazwischen stehen. Warum?
Das war ja vorher auch vorhanden, jetzt gehört es zwischen die Bruchstriche. Du trennst die Operationen des Zählers auf, den Nenner veränderst du nicht.

\frac{- 2 x}{7} - \frac{14 x}{7}

Jetzt hast du aus einem Bruch zwei gleichnamige gemacht, die du ebenso vereinfachen kannst. Das Minus als Vorzeichen aufzufassen und zwischen den Brüchen nichts zu schreiben ist unüblich und führt womöglich zu der falschen Annahme, dass eine Multiplikation vorliegt. (Selbst dann verzichtet man hier nicht auf den Punkt, oder schreibt alles mit einem Bruchstrich.)

\frac{- 16 x}{7} = \frac{- 2 x}{7} - \frac{14 x}{7}

Natürlich ließe sich der rechte Bruch auch kürzen, allerdings mit der Folge, dass man für eine Subtraktion (der wir ja dadurch nicht entgehen) wieder erweitern müsste; es hat also in diesem Fall keinen echten Sinn.

KalleMarx aktiv_icon

06:38 Uhr, 18.02.2012

Moin mezmi!

Zunächst erstmal zu Deiner Schreibweise, denn die ist schon nicht richtig:
Du hast oben folgenden Term als Umformungserbnis angegeben:

\frac{- 2 x}{7} \frac{- 14 x}{7}

.
Das ist so nicht richtig, weil zwischen den Bruchstrichen kein Rechenzeichen (Operator) steht und die mathematische Konvention sagt, wenn zwischen Buchstaben, Zahlen und Operatoren kein Operator geschrieben wird, steht dort ein Multiplikationszeichen. Dein umgeformter Term würde also

\frac{- 2 x}{7} \cdot \frac{- 14 x}{7}

lauten und das ist definitiv etwas anderes als der Ausgangsterm.

Nun zur eigentlichen Frage:
Natürlich gilt immer Punkt- vor Strichrechnung, doch übersiehst Du bisher anscheinend, daß ein Bruchstrich immer Klammern beinhaltet. Du kannst Deinen Bruch also z.B. folgendermaßen umformen:

\frac{- 2 x - 14 x}{7} = (- 2 x - 14 x) \div 7

.
Die Klammer muß natürlich ausmultipliziert (bzw. -dividiert) werden, wenn man ihren Inhalt nicht zusammenfassen kann oder will. Man erhält also:

(- 2 x - 14 x) \div 7 = - 2 x \div 7 - 14 x \div 7

.
Dies kannst Du wieder in Brüche umformen:

- 2 x \div 7 - 14 x \div 7 = \frac{- 2 x}{7} + \frac{- 14 x}{7}

oder auch:

- 2 x \div 7 - 14 x \div 7 = - \frac{2 x}{7} - \frac{14 x}{7}

.

Falls das unklar ist, nimm Dir ein einfaches Beispiel wie

\frac{3 + 4}{2}

. Das ist natürlich das Gleiche wie

\frac{3}{2} + \frac{4}{2}

aber es ist unbedingt verschieden von

3 + \frac{2}{1}

.

Gruß - Kalle.

mezmi aktiv_icon

10:25 Uhr, 18.02.2012

Hallo,

erstmal Danke an euch beide, dass ihr mich auf die Schreibweise aufmerksam gemacht habt, hatte sie wirklich nicht beachtet.

@KarleMarx : das will ja wissen, warum ich einen ausgeschriebenen Bruch nicht verkürzen darf ?

Die Erklärung mit den Klammern finde ich sehr gut, wenn ich mir den Zähler im Klammer vorstelle, dann leuchtet alles ein. Aber,warum ich es immernoch nicht so gründlich begreife, ist das obengenannte Beispiel und dieses hier :

\frac{30 y - 12 y}{6} = \frac{30 y}{6} - \frac{12 y}{6}

wenn man jetzt sowohl die rechte als auch die linke Seite verkürzt, ergeben sie denselben richtige wert. Nun, in diesem Beipiel war es gleichgültig, ob ich den Zählner zusammenfase oder nicht.

warum konnte ich das nicht beim vorherigen Bruch machen???

MrBlum aktiv_icon

10:42 Uhr, 18.02.2012

Ich will nur kurz anmerken:

Du konntest es machen und es ist äquivalent

\to \frac{3}{2} + \frac{4}{2} = \frac{3}{2} + \frac{2}{1}

Du kannst aber die Operation ohne Erweiterung nicht durchführen.

LG

KalleMarx aktiv_icon

13:56 Uhr, 18.02.2012

Ich verstehe Dich noch nicht richtig. Natürlich kommen auf beiden Seiten eines Gleichheitszeichens immer die selben Werte heraus (wenn man alles richtig macht).

Nehmen wir doch nochmal Dein erstes Beispiel:
Was bekommst Du heraus, wenn Du

\frac{- 2 x - 14 x}{7}

kürzt und was erhältst Du nach dem Kürzen aus

\frac{- 2 x}{7} + \frac{- 14 x}{7}

MrBlum aktiv_icon

14:16 Uhr, 18.02.2012

Pardon, aber ich bin bis jetzt auf meinen Händen gesessen, hihih :-)

Natürlich kannst du bei Operationen im Zähler einfach ausklammern:

\frac{30 y - 12 y}{6} = \frac{6 \cdot (5 y - 2 y)}{6}

Das ist sogar eine wichtige Strategie!

Und ja, du kannst sie genauso mit deinen Methoden weiterführen:

\frac{30 y}{6} - \frac{12 y}{6} = 5 y - 2 y

LG, Thomas

MrBlum aktiv_icon

14:41 Uhr, 18.02.2012

ok?

Sonst frag halt nach

. .

mezmi aktiv_icon

09:02 Uhr, 21.02.2012

vielen Danke ihr Beiden, aber jetzt habe ich die Antwort auf meine Frage " warum man den Bruch einfach nicht vorher verkürzen darf, obwohl die allgemeine Regel besagt: die Brüche verkürzen, wo sie zu verkürzen sind" mit beisschem Rumprobieren gefunden. Wenn der Nenner ein Echterteiler von den beiden Zählern ist, dann kann man schon vorher verkürzen, aber wenn er kein Echterteiler von irgendeinem der Zähler ist, dann muss man nach der Erweiterung kürzen.

z . B

\frac{24 + 30}{6} = \frac{54}{6} = 9

aufgeteilt ergibt

= \frac{24}{6} + \frac{30}{6} = 4 + 5 = 9

. Bei diesem Fall ist es gleichgültig ob man den Zähler zuerst zusammenfasst dann verkürzt oder aufteilt und dann verkürzt.

Diese Methode kann man leider nicht bei den Brüchen anwenden, wo der Nenner auf die beiden Zähler nicht komplett aufgehen kann.

z . B

\frac{16 + 13}{4} = \frac{29}{4}

. Wenn wir diesen Bruch aufgeteilt und gekürzt hätten,kämen wir wieder auf den Ausgangsbruch.

\frac{16}{4} + \frac{13}{4} = \frac{4}{1} + \frac{13}{4}

. Dieser gälte dann nochmal zu erweitern.

KalleMarx aktiv_icon

20:39 Uhr, 21.02.2012

Und das war das Problem? Schön, daß nun alle Klarheiten beseitigt sind.

Gruß - Kalle.

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