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Bruch Ungleichung mit Betrag

Universität / Fachhochschule

Tags: Ungleichung

Stevens aktiv_icon

11:26 Uhr, 09.05.2016

Hallo Leute ich komme mit folgender Aufgabe nicht wirklich zurecht:

\frac{x}{| x + 4 |} < \frac{1}{x - 1}

mein Rechenweg wäre:

D=R\

{

-4;1}

1. Fall:

x + 4 > 0

und

x - 1 > 0

x ≻ 4

und

x > 1

x > 1

jetzt habe ich die Ausgangsgleichung genommen ohne die Betragstriche
und Lösungsmenge wäre dann:

L = (1; 3,24)

2.Fall:

x + 4 > 0

und

x - 1 < 0

x ≻ 4

und

x < 1

- 4 < x < 1

wieder Ausgangsgleichung jedoch mit

\frac{1}{- (x - 1)}

und Relationszeichen verändert sich zu von "<" auf ">"
Lösungsmenge:

L = (- 4; 1)

3.Fall:

x + 4 < 0

und

x - 1 > 0

x < - 4

und

x > 1

L = {}

4.Fall

x + 4 < 0

und

x - 1 < 0

x < - 4

und

x < 1

x < - 4

Ausgangsgleichung mit

\frac{x}{- (x + 4)} < \frac{1}{- (x - 1)}

Lösungsmenge:

L =

(-unendlich;-4)

Ist das alles so Richtig ohne die Vereinigung? Würde mich auf eure Antworten freuen, falls es falsch ist bitte ich um ein Lösungsweg und Erklärung danke im vorraus

Mfg
Stefan

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Respon

13:53 Uhr, 09.05.2016

L = (- \infty; 1 - \sqrt{5}) \cup (1; 1 + \sqrt{5})

Edddi aktiv_icon

14:14 Uhr, 09.05.2016

. .

. und hier mal im Detail, da ich nun mal schon angefangen hatte:

Wir haben 2 Stellen, an denen VZ-Wechsel auftreten:

x = - 4

und

x = 1

Fallunterscheidung also für

Fall

1 : x < - 4

Fall

2 : - 4 \leq x < 1

Fall

3 : 1 \leq x

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Fall

1 : x < - 4

\Rightarrow x < - 4 \Rightarrow x + 4 < 0 \Rightarrow | x + 4 | = - (x + 4)

\Rightarrow x < - 4 \Rightarrow x - 1 < - 4 - 1 \Rightarrow x - 1 < - 5

Dabei ist dann

x - 1

negativ und der Betrag

| x + 4 | = - (x + 4)

ist positiv

Beim multiplizieren mit beiden Nennern tritt also 1 VZ-Wechsel auf:

\frac{x}{| x + 4 |} < \frac{1}{x - 1}

\frac{x}{- (x + 4)} < \frac{1}{x - 1}

x < - (x + 4) \cdot \frac{1}{x - 1}

x \cdot (x - 1) > - (x + 4)

x^{2} - x > - x - 4

x^{2} > - 4

L_{1} = (- \infty, \infty)

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Fall

2 : - 4 \leq x < 1

\Rightarrow - 4 \leq x < 1 \Rightarrow 0 \leq x + 4 < 5 \Rightarrow | x + 4 | = x + 4

\Rightarrow - 4 \leq x < 1 \Rightarrow - 5 \leq x - 1 < 0

Dabei ist dann

x - 1

negativ und der Betrag

| x + 4 | = x + 4

ist positiv

Beim multiplizieren mit beiden Nennern tritt also 1 VZ-Wechsel auf:

\frac{x}{| x + 4 |} < \frac{1}{x - 1}

\frac{x}{x + 4} < \frac{1}{x - 1}

x < (x + 4) \cdot \frac{1}{x - 1}

x \cdot (x - 1) > x + 4

x^{2} - x > x + 4

x^{2} - 2 \cdot x > 4

{(x - 1)}^{2} > 5

(x - 1) > \sqrt{5} \Rightarrow x > 1 + \sqrt{5}

- (x - 1) > \sqrt{5} \Rightarrow x < 1 - \sqrt{5}

L_{2} = (- \infty,1 - \sqrt{5}) \land (1 + \sqrt{5}, \infty)

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆ ⋆

Fall

3 : 1 \leq x

\Rightarrow 1 \leq x \Rightarrow 5 \leq x + 4 \Rightarrow | x + 4 | = x + 4

\Rightarrow 1 \leq x \Rightarrow 0 \leq x - 1

Dabei ist dann

x - 1

und der Betrag

| x + 4 | = x + 4

positiv

Beim multiplizieren mit beiden Nennern tritt also kein VZ-Wechsel auf:

\frac{x}{| x + 4 |} < \frac{1}{x - 1}

\frac{x}{x + 4} < \frac{1}{x - 1}

x < (x + 4) \cdot \frac{1}{x - 1}

x \cdot (x - 1) < x + 4

x^{2} - x < x + 4

x^{2} - 2 \cdot x < 4

{(x - 1)}^{2} < 5

(x - 1) < \sqrt{5} \Rightarrow x < 1 + \sqrt{5}

- (x - 1) < \sqrt{5} \Rightarrow x > 1 - \sqrt{5}

L_{3} = (- \infty, \infty)

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Vereinigung der Lösungsmengen

L_{1} \land L_{2} \land L_{3} = L_{2}

L_{1} = (- \infty, \infty)

L_{2} = (- \infty,1 - \sqrt{5}) \land (1 + \sqrt{5}, \infty)

L_{3} = (- \infty, \infty)

Bummerang

14:15 Uhr, 09.05.2016

Hallo,

der Definitionsbereich ist korrekt, die Aufstellung der 4 Fälle ist korrekt und die aus den Fallbedingungen abgeleiteten Einschränkungen für

x

sind ebenfalls korrekt.

1. Fall

Das Ergebnis stimmt (mit Einschränkungen), ob es im Rechenweg Fehler gab ist mangels Angabe nicht nachvollziehbar. Die Einschränkung beim Ergebnis liegt daran, dass man vielleicht in der Schule reelle Zahlen derart grob gerundet hat, im Studium ist da eher die korrekte Angabe

\sqrt{5} + 1

üblich!

2. Fall

In der Ausgangsungleichung (nicht Ausgangsgleichung!) ist

| x + 4 |

durch

x + 4

ersetzbar, aber

\frac{1}{x - 1}

ist und bleibt

\frac{1}{x - 1},

da gibt es nichts zu ersetzen. Allein dann, wenn man mit

(x - 1)

multipliziert, dann muss man das Relationszeichen ändern und man sollte dazuschreiben, warum man es geändert hat. Da kein weiterer Rechenweg vorliegt, muss ich annehmen, dass diese falsche Ersetzung durch

\frac{1}{- (x - 1)}

zu dem falschen Ergebnis führt. Probiere doch mal

x = 0

in der Ausgangsungleichung. Das fällt in Deinen Fall 2 und liegt laut Deiner Lösung auch in der Lösungsmenge.

3. Fall

pathologischer Fall korrekt erkannt

4. Fall

Hier gilt wie im Fall

2,

dass man

| x + 4 |

durch

(- (x + 4))

ersetzen kann und dann bei der Multiplikation mit

- (x + 4)

das Relationszeichen nicht ändern muss, aber dass man

\frac{1}{x - 1}

durch nichts ersetzen kann. Hier stimmt zwar auch das Ergebnis, aber mangels Rechenweg wage ich zu behaupten, dass dieses Ergebnis auf falsche Art und Weise zustande gekommen ist,

d . h

. ausgehend von der mit dem falschen Minus abgewandelten Ungleichung. Hier hat dann zufällig das Ergebnis zusammen mit der Fallvoraussetzung den selben Lösungsbereich ergeben.

EDIT:
@Edddi

Ich würde an Deiner Stelle die

L_{k}

anders angeben,

z . B

L_{1} = (- \infty; - 4)

. Nur dann macht der Text "Vereinigung der Lösungsmengen" auch Sinn, wenn man dann die Mengen vereinigt und nicht wie bei Dir schneidet...

Edddi aktiv_icon

14:27 Uhr, 09.05.2016

. .

. oh, sorry, zum editieren ist's zu spät. Hab' die Schnittmenge der jeweiligen Lösungen mit dem Def.-Bereich unterlassen.

Richtig ist natürlich:

Fall

1 : x < - 4 \Rightarrow L_{1} = (- \infty; - 4)

Fall

2 : - 4 \leq x < 1 \Rightarrow L_{1} = (- 4; 1 - \sqrt{5})

Fall

3 : 1 \leq x \Rightarrow L_{1} = (1; 1 + \sqrt{5})

Somit dann Vereinigungsmenge

L = (- \infty; 1 - \sqrt{5}) \lor (1; 1 + \sqrt{5})

;-)

Bummerang

14:36 Uhr, 09.05.2016

Hallo Edddi,

leider nicht ganz: Da

- 4 \notin D,

und ja die Lösungen der drei Fälle immer offen sind, ist am Ende die

- 4

separat zu betrachten. Entweder durch Aufsplittung auf drei zu vereinende Mengen oder, was mir immer leichter fällt, durch Abzug der zwei Bereiche, die nicht zur Lösungsmenge gehören:

(- \infty; 1 + \sqrt{5}) \ ([1 - \sqrt{5}; 1] \cup {4})

bzw.

(- \infty; 1 + \sqrt{5}) \ ([1 - \sqrt{5}; 1) \cup {1; 4})

oder

((- \infty; 1 + \sqrt{5}) \cap D) \ [1 - \sqrt{5}; 1]

bzw.

((- \infty; 1 + \sqrt{5}) \cap D) \ [1 - \sqrt{5}; 1)

rundblick aktiv_icon

14:43 Uhr, 09.05.2016

.
das kannst du auch einfacher und übersichtlicher aufschreiben, Bummerang :

zB so

\to

L = (- \infty; - 4)

∪

(- 4; 1 - \sqrt{5})

∪

(1; 1 + \sqrt{5})

Bummerang

14:55 Uhr, 09.05.2016

Hallo Edddi,

"das kannst du auch einfacher und übersichtlicher aufschreiben, Bummerang"

Das weiss ich, siehe: "Entweder durch Aufsplittung auf drei zu vereinende Mengen", aber ich habe bewußt die anderen, durch Dich als unübersichtlich bezeichnete, Varianten gewählt, siehe: "was mir immer leichter fällt".

Wenn es dem Fragesteller so herum nicht leichter fällt, dann wird er hoffentlich von Deiner zuvor angegebenen Lösung auf die mit 3 Mengen kommen. Wenn nicht, ist sowieso noch viel mehr an Erklärungen notwendig, da dann grundsätzliche Kenntnisse fehlen.

Edddi aktiv_icon

15:00 Uhr, 09.05.2016

@ Bummerang:

dieser Beitrag war NICHT von mir! Wollt' ich nur bemerkt haben.

;-)

Bummerang

15:51 Uhr, 09.05.2016

Hallo Edddi,

Sorry, dann richtet sich mein vorheriger Post an meinen liebsten Freund ohne rundblick...

Stevens aktiv_icon

18:39 Uhr, 09.05.2016

Erstmal Danke für eure Antworten und für eure Zeit.
Ich glaube ich habe das mit ungleichungen nicht wirklich verstanden.
Ich weis das, wenn in den Beträgen

< 0

wird das man dann mit "-" multipliziert bei größer gleich 0 bleibt es so wie es ist.
für den 2. Fall habe ich geschrieben

x - 1 < 0

wird dann bei der Ausgangsgleichung nicht mit "-" multipliziert woo es

x - 1

ist? oder gilt das nur bei Beträgen und warum ändert sich das Relationszeichen wenn mit einer negativen Zahl nicht multipliziert oder dividiert wird?
Bitte um Erklärung ich habe leider nichts gefunden dazu.

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