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Bruchrechnen

Schüler

Tags: bruchrechnen

OhneErkenntnis aktiv_icon

12:11 Uhr, 08.10.2014

Eigentlich total einfache Aufgabe.....dachte ich. Was hab ich wieder nicht begriffen? Immer wenn ich denke ich habe Bruchrechnen jetzt endlich mal vollständig begriffen ist irgendwas wieder mal spanisch.

Meine Lösung die scheinbar falsch ist:

(\frac{\frac{k}{4} - \frac{k}{3}}{\frac{3 k}{4} - \frac{k}{3}}) = (\frac{k}{4} - \frac{k}{3}) \cdot (\frac{4}{3 k} - \frac{3}{k}) = \frac{4 k}{12 k} - \frac{3 k}{4 k} - \frac{4 k}{9 k} + \frac{3 k}{3 k} = \frac{12 k}{36 k} - \frac{27 k}{36 k} - \frac{16 k}{36 k} + \frac{36 k}{36 k} = \frac{5}{36}

Der korrekte Lösungsweg scheint aber:

(\frac{\frac{k}{4} - \frac{k}{3}}{\frac{3 k}{4} - \frac{k}{3}}) = (\frac{\frac{3 k}{12} - \frac{4 k}{12}}{\frac{9 k}{12} - \frac{4 k}{12}}) = \frac{- 12 k}{12 \cdot 5 k} = - \frac{1}{5}

Also was zur Hölle.......ich habe bisher immer den Kehrbruch im Doppelbruch genommen. Hat bisher wunderbar funktioniert, warum geht das hier nicht?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

rundblick aktiv_icon

12:21 Uhr, 08.10.2014

"
Meine Lösung die scheinbar falsch ist:
"

... ... ... ... ... ... ...

. ja - und nicht nur "scheinbar"!

der Fehler ist bereits im allerersten Umformungsschritt:

der Kehrwert des Nenners:

\to (\frac{3 k}{4} - \frac{k}{3})

ist NICHT

\to (\frac{4}{3 k} - \frac{3}{k})

SONDERN

\to \frac{12}{5 k}

überlege: warum..

OhneErkenntnis aktiv_icon

12:53 Uhr, 08.10.2014

Sorry ich versteh es nicht. Es gilt doch:

\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}

Das habe ich doch gemacht,

c

und

d

vertauscht und als Faktor angehängt.

EDIT: Zum Thema Potenzen habe ich das in einem anderen Thread doch auch so gemacht:

\frac{3}{x^{- 3}} = \frac{3}{\frac{1}{x^{3}}} = \frac{3}{1} / \frac{1}{x^{3}} = \frac{3}{1} \cdot \frac{x^{3}}{1} = 3 x^{3}

Edit2:

Also muss ich erst den Zähler des Doppelbruches erst auf den gleichen Nenner bringen, und dann ausrechnen, und dann umdrehen?

Und im ersten Edit ging es so weil nur ein Wert im Nenner stand, also keine Rechnung?
Was ist da die Regel? Wie habe ich das zu verstehen oder mir zu merken?

Edit3:

(\frac{\frac{k}{4} - \frac{k}{3}}{\frac{3 k}{4} - \frac{k}{3}}) = \frac{\frac{k}{4} - \frac{k}{3}}{\frac{9 k}{12} - \frac{4 k}{12}} = (\frac{k}{4} - \frac{k}{3}) \cdot (\frac{12}{9 k} - \frac{12}{4 k})

Jetzt ergibt sich noch eine weitere Frage.
Wenn ich Mehrere Klammern mit mehreren Werten multipliziere muss ich doch erstmal die Klammern multiplizieren bevor ich den Wert inerhalb der Klammer berechne, also:

(a + b) \cdot (c + d) \to

+

+

+

bd

Aber das oben geht ja auch nicht, dann steht ja 0 im Zähler.

rundblick aktiv_icon

13:24 Uhr, 08.10.2014

"
erst auf den gleichen Nenner bringen, und dann ausrechnen, und dann umdrehen?
"

\to

genau so !

\to

denn du hast SUMMEN in Zähler und Nenner stehen ..

und der Kehrwert von zB

(\frac{1}{2} + \frac{1}{3})

ist Nicht

(2 + 3) .

. also nicht

5,

sondern:

es ist

\to (\frac{1}{2} + \frac{1}{3}) = (\frac{3}{6} + \frac{2}{6}) = \frac{5}{6} . .

. und davon ist dann der Kehrwert

\frac{6}{5}

alles klar?

OhneErkenntnis aktiv_icon

13:32 Uhr, 08.10.2014

Das war mir neu. Ich denke ich habe Brüche jetzt verstanden

^^{}

Ich danke dir.

Also nochmal in meinen eigenen Worten:

Den Kehrwert einer Summe von Brüchen erhält man, indem man die Brüche auf den gleichen Nenner bringt, ausrechnet und anschließend umdreht.

Also nehme ich an wird mein EDIT3 erstmal damit hinfällig.

Doch noch eine abschließende Frage, du sagtest:

"→ denn du hast SUMMEN in Zähler und Nenner stehen .."

Was hat der Zähler damit zu tun?
Ausschlaggebend ist doch der Nenner oder?

OhneErkenntnis aktiv_icon

14:21 Uhr, 08.10.2014

Was ich aber immernoch nicht verstehe ist was ich im Edit3 geschrieben habe.
Warum kommt hier nicht das Distributivgesetz zur Anwendung?

Mal angenommen, ich mache den Nenner gleichnamig, rechne die Klammer aus und drehe dann den Bruch um, dann habe ich ja folgendes Teilergebnis:

(\frac{K}{4} - \frac{K}{3}) \cdot \frac{12}{5 k}

Wie gefragt, warum kommt hier das Distributivgesetzt nicht zur Anwendung?
Oder ist das gleichnamig machen für beide Brüche beim Kehrwert bilden bindend?
Wie ist genau die Regel definiert?

rundblick aktiv_icon

21:55 Uhr, 08.10.2014

also :

wenn im Nenner eines Bruches eine Summe oder eine Differenz (zB von Brüchen) steht
und du willst den Bruch mit dem Kehrwert des Nenners multiplizieren,

dann MUSST du zuerst eben den Nenner ausrechnen (wie im Beispiel) und erst dann
davon den Kehrwert usw,usw..

deine nächste Frage:

\to

nein, den Zähler musst du dazu nicht auch ausrechnen

es geht durchaus auch so:

(\frac{k}{4} - \frac{k}{3}) \cdot \frac{12}{5 k} = \frac{k}{4} \cdot \frac{12}{5 k} - \frac{k}{3} \cdot \frac{12}{5 k}

..usw

aber geschickter ist es vielleicht doch, zuerst auch noch im Zähler zusammenzufassen

\to

also

(\frac{k}{4} - \frac{k}{3}) \cdot \frac{12}{5 k} = (- \frac{k}{12}) \cdot \frac{12}{5 k}

dann siehst du doch unmittelbar,
dass du da noch kürzen kannst und das Ergebnis

\to - \frac{1}{5}

sofort hast..

ok?

OhneErkenntnis aktiv_icon

07:31 Uhr, 09.10.2014

Danke dir!

OhneErkenntnis aktiv_icon

13:24 Uhr, 15.10.2014

Okay, weiter oben habe ich den Kehrbruch ja verkehrt durchgeführt.

Bei dieser Aufgabe wurde in der Lösung der 2. Bruch einfach umgedreht,
so wie es weiter oben doch eigentlich auch gemacht hatte.

\frac{(x^{2} + 8 x y + 16 y^{2})}{{(2 x - 3 y)}^{- 2}} : \frac{x^{2} - 16 y^{2}}{2 x - 3 y} = \frac{(x^{2} + 8 x y + 16 y^{2}) \cdot (2 x - 3 y)}{{(2 x - 3 y)}^{- 2} \cdot (x^{2} - 16 y^{2})} ... ... ... ... ... ... ...

.

Warum darf man das hier machen und oben nicht?
Es ist doch auch hier eine Summe drin!?

Stephan4

20:15 Uhr, 15.10.2014

Jaja, die Summe ist drin.

Und sie bleibt auch drin.

Das ist so wie:

\frac{A}{B} : \frac{C}{D} = \frac{A}{B} \cdot \frac{D}{C}

OhneErkenntnis aktiv_icon

09:15 Uhr, 17.10.2014

Aber im 2. Post wird doch gesagt:

(\frac{3 k}{4} - \frac{k}{3})

ist nicht

(\frac{4}{3 k} - \frac{3}{k})

SONDERN

\frac{12}{5 k}

Also müsste der Kehrwert von

\frac{x^{2} - 16 y^{2}}{2 x - 3 y}

wie folgt sein:

\frac{6 x y}{3 x^{2} y - 32 x y^{2}}

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09:49 Uhr, 17.10.2014

Der Kehrwert ist:

\frac{2 x - 3 y}{x^{2} - 16 y^{2}}

Wie kommst du auf deine seltsame Lösung ?

OhneErkenntnis aktiv_icon

10:55 Uhr, 17.10.2014

Ja so habe ich das ja normal auch immer gemacht, einfach umgedreht.
Allerdings wurde mir in Post 2 erklärt das das falsch ist weil dort eine Summe im Bruch steht. Auf diese Lösung komme ich wenn ich die Beschreibung von Post2 auf diesen Bruch anwende.

Und deswegen hat mich das seit Post2 oder Post3 total verwirrt und das tut es immernoch. Habe erst halt den Nenner gleichnamig gemacht, zusammengefasst und dann das ganze einfach umgedreht.

Wie gesagt, bisher hatte ich immer einfach umgedreht, seit Post2 war es dann falsch.

EDIT: In Post3 habe ich es nicht zusammengefasst vor dem umgedrehen aber in Post4 wurde das so gemacht.

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11:49 Uhr, 17.10.2014

Mit dem Kehrbruch darf man erst multiplizieren, wenn im Zähler und Nenner alles auf einem Bruchstrich steht:

\frac{(\frac{a}{b} + \frac{c}{d})}{(\frac{e}{f}) + (\frac{g}{h})} = \frac{\frac{a d + c b}{b d}}{\frac{e h + g f}{f h}}

\frac{(a d + c b) \cdot f h}{b d \cdot (e h + g f)}

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