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Bruchungleichung + Betrag im Nenner bzw Zähler

Universität / Fachhochschule

Algebraische Zahlentheorie

Analytische Zahlentheorie

Tags: Betragsungleichung, Bruchungleichung, Fallunterscheidung, Ungleichung

KarlKarlauer aktiv_icon

13:58 Uhr, 09.08.2010

Servus,

eine kurze Frage zum Thema Fallunterscheidungen bei Betragsbruchungleichungen oder Bruchbetragsungleichungen, je nachdem wie man es lieber hat :-).

Für die vorzunehmenden Fallunterscheidungen ist es doch unerheblich ob der Nenner im Betrag steht oder nicht?

Beispiel (auf die Betrags Striche achten):

|x²

- 1 | \div x \geq 2

führt zu den gleichen

F . U

. wie:

|x²

- 1 | \div | x | \geq 2

genau so wie:

|x²

- 1 \div x | \geq 2

liege ich da richtig?

Danke für eure Hilfe :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

hagman aktiv_icon

14:48 Uhr, 09.08.2010

\frac{| x^{2} - 1 |}{x} \geq 2

führt auf die Unterscheidung

(x \leq - 1 \lor x \geq 1)

vs.

(- 1 \leq x \leq 1)

\frac{| x^{2} - 1 |}{| x |} \geq 2

führt auf

x \leq - 1

- 1 \leq x \leq 0

vs.

0 \leq x \leq 1

vs.

1 \leq x

| \frac{x^{2} - 1}{x} | \geq 2

ist zu vorstehendem äquivalent wegen

\frac{| x^{2} - 1 |}{| x |} = | \frac{x^{2} - 1}{x} |

Nicht nur die Fallunterscheidungen, sondern natürlich auch die Lösungen sind entsprechend
(Ich habe die Fälle an den ändern überlappend formuliert, der ene oder andere hat verschiedene Vorlieben, auf welche Seite er den Randpunkt schlagen möchte; und natürlich ist grundsätzlich

x = 0

ausgeschlossen)

KarlKarlauer aktiv_icon

14:52 Uhr, 09.08.2010

Vielen Dank die prompte Hilfe, dann bin ich hier auf der richtigen Fährte.

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