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Brüche mit PI in RAD kürzen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Zahlen

Tags: Rad

henland aktiv_icon

17:08 Uhr, 28.11.2013

Hallo,

ich habe eine vermutlich triviale Frage, habe aber nichts richtig gefunden bisher:

315 ° = \frac{7 π}{4}

bis hierhin alles ok :-) , aber wie komme ich auf folgendes:

100 \cdot \frac{7 π}{4} = π

???

Ich weiß ich kann mit modulo(

2 π

) darauf kommen aber es muss doch auch ohne Taschenrechner gehen.

Gruß, henland

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Kreiszahl (Mathematischer Grundbegriff)

anonymous

18:14 Uhr, 28.11.2013

Offensichtlich gilt

100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4} \neq π

da die linke Seite sehr viel gößer ist als

π

.

Allerdings geht es wohl anscheinend um Winkel.
Da es dann normalerweise keinen Unterschied macht ob man einen Winkel

φ

oder einen Winkel

φ + 2 π

betrachtet, fast man die entsprechenden Winkel oft zu entsprechenden Äquivalenzklassen zusammen, so dass

φ

und

φ + 2 π

in der gleichen Äquivalenzklasse liegen, also

[φ] = [φ + 2 π]

gilt.

Also gilt zwar

[100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4}] = [π]

aber eben nicht

100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4} = π

. Außer man stellt klar, dass mit dem

=

nicht die übliche Äquivalenzrelation (reeller Zahlen) gemeint ist, sondern damit die entsprechende Äquivalenzrelation gemeint ist, auf der die beschriebene Einteilung in Äquivalzenklassen basiert.

Nun aber zum eigentlichen Problem:
Warum gilt

[100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4}] = [π]

?

Naja, man muss zeigen, dass die Differenz der beiden Winkel ein ganzzahliges Vielfaches von

2 π

ist, also

100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4} - π = k \cdot 2 π

für ein

k \in ℤ

gilt.

Also ganz langsam, da ohne Taschenrechner:

100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4} - π = \frac{100}{4} \cdot 7 \cdot π - π = (25 \cdot 7 - 1) \cdot π

Offensichtlich ist

25 \cdot 7

als produkt von zwei ungeraden Zahlen eine ungerade Zahl. Subtrahiert man die ungerade Zahl 1, erhält man also eine gerade Zahl, weshalb es eine ganze Zahl k geben muss, so das

25 \cdot 7 - 1 = k \cdot 2

gilt und damit

100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4} - π = k \cdot 2 π

folgt.

Natürlich kann man auch einfach weiterrechnen:

100 \cdot \frac{7 \cdot π}{4} - π = \frac{100}{4} \cdot 7 \cdot π - π = (25 \cdot 7 - 1) \cdot π = (175 - 1) \cdot π = 174 \cdot π = 87 \cdot 2 π

Zusammenfassend lässt sich also sagen, dass zwei im Bogenmaß vorliegende Winkel &w_1& und

w_{2}

äquivalent sind, wenn

\frac{w_{1} - w_{2}}{2 π}

eine ganze Zahl ist bzw. wenn

\frac{w_{1} - w_{2}}{π}

eine gerade ganze Zahl ist.
Und dazu braucht man (in diesem Fall) doch keinen Taschenrechner.

henland aktiv_icon

18:34 Uhr, 28.11.2013

Vielen Dank für die exzellente Ausführung, das war sehr hilfreich!

Das heißt ja im Umkehrschluss auch: Wenn ich eine solche Aufgabe habe, dass ich dann verschiedene Werte für den gesuchten kleineren Winkel testen muss. Also zb.

π

oder

2 π

oder

\frac{π}{2}

.

Besten Dank und viele Grüße!
henland

anonymous

18:59 Uhr, 28.11.2013

"Wenn ich eine solche Aufgabe habe, dass ich dann verschiedene Werte für den gesuchten kleineren Winkel testen muss. Also zb.

π

oder

2 π

oder

\frac{π}{2}

."

Ich hoffe ich habe das richtig verstanden:
Du hast einen Winkel

w_{1}

(beispielsweise

w_{1} = \frac{93}{2} π

) und du möchtest einen Winkel

w_{2}

finden, so dass

w_{1}

äquivalent zu

w_{2}

ist und

0 \leq w_{2} < 2 π

gilt?

Dann würde ich da nicht ewig rumprobieren, sondern folgendermaßen vorgehen:
1. Suche nach dem nächstgelegenen ganzzahligen Vielfachen von

2 π

.

Dazu wird

\frac{w_{1}}{2 π}

entsprechend (ab-)gerundet:

\frac{w_{1}}{2 π} = \frac{\frac{93}{2} π}{2 π} = \frac{93}{4}

Das muss jetzt abgerundet werden. Ohne Taschenrechner würde ich mir also in diesem Fall überlegen, dass

\frac{93}{4}

noch keine ganze Zahl ist und den Zähler nun so lane verkleinern, bis sich eine ganze Zahl ergibt:

\frac{92}{4} = \frac{46}{2} = 23

2. Subtrahieren dieses ganzzahligen Vielfachens.

\frac{93}{2} π - 23 \cdot 2 π = \frac{93}{2} π - \frac{92}{2} π = \frac{π}{2} = w_{2}

Das ist der gesuchte Winkel.

Die Winkel sind äquivlent, denn umgekehrt gilt nun:

w_{1} - w_{2} = 23 \cdot 2 π

henland aktiv_icon

21:31 Uhr, 28.11.2013

Vielen Dank für den Nachtrag,
jetzt fühl ich mich sicher in dieser Materie :-)

Einen schönen Abend noch!
henland

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