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Bsp für Gleichheit der Norm-Ungleichungen

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Vektorräume

Tags: euklidische Norm, Gleichheit, maximumsnorm, Norm, Skalarprodukt, Ungleichung, Vektorraum

LuciaSera aktiv_icon

21:28 Uhr, 06.03.2019

Meine Aufgabe war es folgende Norm-Ungleichungen zu beweisen:

1 .) {| | x | |}_{2} \leq {| | x | |}_{1} \leq \sqrt{n} {| | x | |}_{2}

2 .) {| | x | |}_{\infty} \leq {| | x | |}_{2} \leq \sqrt{n} {| | x | |}_{\infty}

3 .) {| | x | |}_{\infty} \leq {| | x | |}_{1} \leq n {| | x | |}_{\infty}

Das Beweisen hat super funktioniert. Jedoch habe ich dann versucht für diese 3 Aufgaben jeweils ein Beispiel zu finden für das Gleichheit gilt, wobei jedoch

n > 1

gelten soll. Also:

1) {| | x | |}_{2} = {| | x | |}_{1} = \sqrt{n} {| | x | |}_{2}

2 .) {| | x | |}_{\infty} = {| | x | |}_{2} = \sqrt{n} {| | x | |}_{\infty}

3 .) {| | x | |}_{\infty} = {| | x | |}_{1} = n {| | x | |}_{\infty}

Ich finde aber leider keines. Hat jemand von euch vielleicht Beispiele für mich, an welchem ich die Gleichheit schön sehen kann?

Freue mich über jede Antwort :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Bummerang

01:43 Uhr, 07.03.2019

Hallo,

"Ich finde aber leider keines."

Darf man erfahren, wie lange und wie intensiv Du gesucht hast?

Allein wenn man die Betragsmaximumnorm und die Betragssummennorm unter Ausschluß des Nullvektors betrachtet, dann sind die doch wohl nur dann gleich, wenn das Maximum nur genau ein Mal angenommen wird und die betragsmäßig kleineren Werte ALLE gleich Null sind. Mit anderen Worten: der Vektor ist ein Vielfaches eines Einheitsvektors. Wenn man jetzt noch die euklidische Norm betrachtet, dann sieht man, dass auch diese den selben Wert hat, da die Summe der Quadrate gleich dem Quadrat der einzigen von Null verschiedenen Komponente ist. Beide Wurzeln sind gleich dem Betrag dieser einzigen Komponente. Also gilt hier auch die Gleichheit.

Also ich habe ernsthafte Zweifel, dass Du wirklich ernsthaft und lange nach der Lösung gesucht hast. Schon wenn man die Summe aller Beträge sieht, unter denen EIN BETRAG der maximale Betrag ist, dann sieht man, dass die Summe der restlichen Beträge Null sein muss und das geht nun mal nur, wenn alle anderen Beträge selbst Null sind!

LuciaSera aktiv_icon

05:59 Uhr, 07.03.2019

Natürlich das ist mir alles klar. Jedoch macht mir das

\sqrt{n}

bzw.

n

vor meinen Normen gewisse Probleme. Auf die Einheitsvektoren bin ich schon gekommen und dass das die einfachsten sind für die das gilt weiß ich auch. Aber wenn ich

z . B

e_{2} = {(1,0)}^{T}

nehme (also habe ich einen Einheitsvektor aus dem

ℝ^{2}

und somit

n = 2 > 1)

erhalte ich bereits für die 1. Gleichung, dass

{| | x | |}_{2} = 1 = {| | x | |}_{1}

(soweit so gut)
aber

{| | x | |}_{1} = 1 \neq \sqrt{2} = \sqrt{2} {| | x | |}_{2}

Entweder übersehe ich etwas oder für mich gilt Gleichheit nur wenn

n = 1

ist.

tim602 aktiv_icon

07:57 Uhr, 07.03.2019

wie genau willst du eine Gleichheit für n=2 haben wenn du links und rechts der Gleichung jeweils die gleiche Norm

∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

bzw.

∣ ∣ x ∣ ∣_{\infty}

hast, das macht ja nur für den Nullvektor Sinn. Das

\sqrt{n} ∣ ∣ x ∣ ∣_{2} > ∣ ∣ x ∣ ∣_{2}

für

n \geq 2

falls x

\neq

dem Nullvektor sollte eigentlich ja klar seien.

LuciaSera aktiv_icon

08:10 Uhr, 07.03.2019

Es hätte ja sein können, dass ich etwas übersehe und darum dachte ich, ich frage einfach einmal die Allgemeinheit. In meiner Angabe steht nämlich explizit dass wir Beispiele für die Gleichheit finden sollen mit

n > 1

und ich kam eben auch nur auf den Nullvektor. Wegen

n > 1

war ich eben irritiert ob es denn doch vielleicht ein Beispiel gibt, welches ich nur nicht sehe bzw. finde.

Bummerang

11:01 Uhr, 07.03.2019

Hallo,

dass die Gleichheit nicht auf beiden Seiten gleichzeitig gelten ksnn, sollte für

n \geq 1

klar sein, denn

a = . .

= n \cdot a

bzw.

b = . .

= \sqrt{n} \cdot b

gilt dsnn nur für

a = 0

bzw.

b = 0

. Aber auch die rechten Ungleichungen sind erfüllbar! Betrachte wieder die Betragssummennorm, die gleich dem n-fachen der Betragsmaximumnorm sein soll! Wann kann das denn sein? Nur dann, wenn die Beträge aller Komponenten gleich sind! Dann hat man in der Summe

n

Mal diesen gleichen Betrag und beim Maximum eben nur genau diesen Betrag!. Wenn man dann für solche Vektoren die Eulernorm betrachtet, dann kommt man auf

{| | ... | |}_{2} = \sqrt{n \cdot {max}^{2}} = \sqrt{n} \cdot | max | = \sqrt{n} \cdot {| | ... | |}_{\infty}

Und gleichzeitig gilt:

{| | ... | |}_{2} = \sqrt{n \cdot {max}^{2}} = \sqrt{n} \cdot | max | =

sqrt(n)*1/n*Summe

= \frac{1}{\sqrt{n}} \cdot {| | ... | |}_{1}

bzw.

{| | ... | |}_{1} = \sqrt{n} \cdot {| | ... | |}_{2}

Damit werden alle drei Ungleichungen rechts durch Gleichheit erfüllt, wenn die Koordinaten des Vektors ALLE BETRAGSMÄßIG GLEICH sind.

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