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Bsp. zu: surjektiv,bijektiv,injektiv

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Tags: Angewandte Lineare Algebra, bijektiv, Determinanten, Eigenwert, injektiv, Lineare Abbildungen, Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung, Skalarprodukt, surjektiv, Überprüfen, Vektorraum

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20:29 Uhr, 15.10.2009

Hallo erstmal!

ich studiere gerade im ersten Semester Mathe und scheine derzeit an meiner Hausübung zu scheitern!

Es geht darum verschiedene Abbildungen zu prüfen ob sie surjektiv, injektiv oder bijektiv sind....

Weiß mittlerweile schon den Unterschied zwischen Surjektiv und injektiv, allerdings weiß ich nciht wie ich überprüfen kann, ob eine Abbildung surj.,inj. oder bij. ist.
Hab schon versucht mir Wissen mit Büchern anzuordnen, aber leider findeich nur folgende Ausdrücke:

z . B . :

Z=alle ganzen zahlen

Bsp.:

Z \to Z, z \to 2 z

Meine Hausaufgabe scheint mir etwas schwieriger zu sein als die in den Büchern angegebenen Bsps.

1.Bsp. HÜ:

N=alle natürlichen Zahlen
Z=alle ganzen Zahlen

f : N \to Z, x \to x^{3} + 3 x^{2} + 3 x + 1

Wobei hier nach

x,

bzw. oben nach

z

ein Abbildungspfeil des Formates

| - >

hineingehört!

würd mich echt freuen, wenn mir jmd. weiterhelfen kann und auch erklären kann warum dieses Bsp. jetzt inj, surj, oder bij. ist.

Danke Lg

A \cap a

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

Sina86

21:00 Uhr, 15.10.2009

Hi,

es gibt so Standardbeweise, mit denen man Injektivität bzw. Surjektivität nachweisen kann. Normalerweise geht man streng nach Definition:
"Eine Funktion

f : X \to Y

heißt injektiv, wenn für alle

x, y \in X : f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

"

Nehmen wir z.B. deine Bsp-Funktion

f : ℤ \to ℤ, x \mapsto 2 x

. Wenn wir keine bessere Idee haben, wie wir Injektivität nachweisen sollen (gerade in der Linearen Algebra gibt es später viel einfachere Möglichkeiten), schauen wir in die Definition und sehen, wir müssen eine Implikation zeigen, die für alle

x, y

des Definitionsbereiches gelten. Das beweist man, indem man zunächst zwei beliebige Elemente wählt, seien also

x, y \in ℤ

.
Nun sagt uns die Implikation, was wir zeigen müssen. Wir fangen auf der linken Seite der Implikation an und setzen also:

f (x) = f (y)

(dies ist möglich, da wir für

x, y

keine näheren Angaben gemacht haben. Insebesondere für den Fall

x = y

stimmt diese Gleichheit. Es gibt also zumindest eine Konstellation von

x, y

, bei der wir die Gleichheit annehmen können und wir müssen nun zeigen, dass diese auch die einzige ist)

f (x) = f (y) \Leftrightarrow 2 x = 2 y \Leftrightarrow x = y

Nun habe ich also nachgewiesen:

f (x) = f (y) \Rightarrow x = y

, somit ist

f

injektiv.

Für die Surjektivität muss man zeigen:
"Für alle

y \in Y

existiert ein

x \in X

, so dass

f (x) = y

."
Hier muss man lediglich zu einem beliebigen

y

(für alle!) des Bildbereches ein

x

des Definitionsbereiches angeben, das auf dieses

y

abgebildet wird.
Die hier gegebene Funktion

f

ist nicht surjektiv (dafür muss man ein Gefühl entwickeln, man kann aber auch ein wenig rumprobieren). Um das nachzuweisen genügt es, ein

y \in Y

anzugeben, für das es kein Urbild gibt (Verneinung der Surjektivitäts-Definition). Ein solches

y

wäre z.B. 1.

Betrachten wir eine andere Funktion

g : ℝ^{+} \to ℝ^{+}, x \mapsto x^{2}

. Diese Funktion ist surjektiv, aber wie nachweisen? Nun müssen wir ein wenig rechnen. Wir sollen wieder etwas für alle

y \in Y = ℝ^{+}

zeigen, also nehmen wir ein beliebiges

y

. Dann machen wir erst einmal eine Nebenrechnung:

g (x) = y

, hier ist x zu besimmen!

g (x) = x^{2} = y \Leftrightarrow x = \pm \sqrt{y}

Ich finde zunächst mal zwei Urbilder für mein

y

(außer für

y = 0

, aber

0 \notin ℝ^{+}

), da Wurzeln aber stets

\geq 0

sind, liegt aber nur eines dieser Urbilder in meinem Definitionsbereich

ℝ^{+}

, nämlich

x = \sqrt{y}

. Da wir hier aber eine Nebenrechnung machen, müssen wir nicht so exakt sein.
Wichtig ist, dass wir ein Urbild gefunden haben, denn

g (\sqrt{y}) = (\sqrt{y})^{2} = y

und da

y

beliebig gewählt war, haben wir ein Urbild für alle

y \in ℝ^{+}

gefunden. Was man also beim Surjektivitäts-Beweis macht, ist die Funktionsvorschrift einer vermeintlichen Umkehrfunktion berechnen (wie man das in der Schule gemacht hat), hier ist aber Vorsicht geboten, da werden viele Aspekte ignoriert :-)

Die Funktion

g

ist übrigens auch injektiv und damit bijektiv. Und erst die Bijektivität sagt aus, dass es überhaupt eine Umkehrfunktion gibt. Für die Bijektivität gibt es eigentlich erst mal keinen Standardbeweis, hier sollte man im Zweifelsfall immer Injektivität und Surjektivität getrennt voneinander nachweisen. Allerdings, wie du vlt bei der Rechnung zu

g

bemerkt hast, ist Bijektivität gleichbedeutend mit der Aussage, dass jedes

y

im Bildbereich genau ein Urbild

x

im Definitionsbereich besitzt.

Dann probier dich mal bei deinen Hausaufgaben... Und um einen netten Helfer von mir zitieren zu dürfen:
Bei Fragen

\mapsto

fragen

Lieben Gruß
Sina

Sina86

00:40 Uhr, 16.10.2009

Hier noch einmal meine Screenshots...

michaL aktiv_icon

03:26 Uhr, 16.10.2009

Hallo Anna,

Dein Beispiel ist genau eines von den dreien. Sina hat dir ja eine Hilfestellung an einem anderen Beispiel gegeben. Vielleicht hilft dir einer von den beiden folgenden Tipps:

1. Es gilt:

n^{3} + 3 n^{2} + 3 n + 1 = (n + 1)^{3}

2. Vielleicht dürft ihr folgendes verwenden (wenn ihr es in der Vorlesung bewiesen habt): Seien die Funktionen

f : A \to B

und

g : B \to C

surjektiv (bzw. injektiv bzw. bijektiv), dann ist auch die Verknüpfung

g \circ f : A \to C

surjektiv (bzw. injektiv bzw. bijektiv).

Mfg Michael

Dixiklo aktiv_icon

19:24 Uhr, 17.10.2009

Hallo ihr Beiden!

Vielen Dank für eure nete hilfe, da ich jetzt auch endlich Sinas Versions lesen konnte, werd ich mir das alles am Montag zur Gemüte führen und mich wieder melden, falls ichs nicht verstanden hab ;-)

Liebe Grüße

A \cap a

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