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C1-Funktion nicht total differenzierbar?

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Jakob1000 aktiv_icon

18:53 Uhr, 25.08.2010

Hi,

Ich habe hier in einer Aufgabe eine Funktion:

f (x, y) =

x²y/(2x²

+

3y²)
mit

f (0,0) = 0

Gefragt ist nach vollständiger differenzierbarkeit.
In meinem Buch steht, dass stetig partiell differenzierbare Funktionen vollständig differenzierbar sind. Und die Funktion ist doch stetig partiell differenzierbar?

f (0, y)

ist

= 0,

und

f (x,0)

ebenso. Damit ist die Ableitung im Nullpunkt doch

= 0

und damit stetig, oder nicht?

In der Lösung zu der Aufgabe wird hingegen gezeigt, dass die Funktion nicht vollständig differenzierbar ist. Ich habe auch den Graphen vorliegen, da sieht man das auch ganz gut. Wo liegt also mein Fehler?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

smoka

19:02 Uhr, 25.08.2010

Hallo,

ich kann Dir nicht sagen wo Dein Fehler liegt, denn Du hast keinen Lösungsweg gepostet und hellsehen kann ich leider nicht.
Um festzustellen, ob die Fkt. stetig partiell diffbar ist kann es unter Umständen hilfreich sein, die partiellen Ableitungen zu bestimmen.

Gruß,

smoka

Jakob1000 aktiv_icon

19:09 Uhr, 25.08.2010

f (0, y)

ist

= 0,

und

f (x,0)

ebenso. Damit ist die Ableitung im Nullpunkt

= 0

und damit stetig.
partielle ableitung im Nullpunkt existiert und ist stetig

\to

Funktion ist vollständig differenzierbar. Ich weiß nicht, wie ich mich klarer ausdrücken soll.

smoka

19:14 Uhr, 25.08.2010

Die partielle Ableitung ist nur =0 für x=0 bzw. y=0. Für alle anderen

x \neq 0

und

y \neq 0

sieht die partielle Ableitung anders aus. Diese sollst Du bestimmen, denn sonst kannst Du schlecht Aussagen über Stetigkeit machen.
Stetigkeit in einem Punkt bezieht immer auch die Umgebung des Punktest mit ein.

Jakob1000 aktiv_icon

19:36 Uhr, 25.08.2010

jenseits des Nullpunktes ist die Funktion vollständig differenzierbar. Das brauche ich nicht zu zeigen.

smoka

19:39 Uhr, 25.08.2010

Eine Funktion ist total diffbar wenn die partiellen Ableitungen existieren UND stetig sind. Das ist zu zeigen.
Jetzt bestimm die Ableitungen doch endlich mal und vertrau mir, dass Du sie brauchst!

Jakob1000 aktiv_icon

20:05 Uhr, 25.08.2010

also dann,

f_{x} (x, y) = \frac{6 x y^{3}}{(2 x^{2} + 3 y^{2})^{2}}

f_{y} (x, y) = \frac{2 x^{4} - 3 y^{2} x^{2}}{(2 x^{2} + 3 y^{2})^{2}}

sowie

f_{x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h}

f_{y} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (0, h) - f (0, 0)}{h}

f (x, 0) = f (0, y) = 0

gilt, ist

f_{x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (h, 0) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

und

f_{y} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{f (0, h) - f (0, 0)}{h} = lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0

Damit sind die partiellen Ableitungen doch bestimmt, denke ich.
Jetzt noch Stetigkeit dieser Ableitungen:

lim_{h \to 0} f_{x} (h, 0) - f_{x} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{6 h * 0}{(2 h^{2} + 0)^{2}} - 0 = 0

lim_{h \to 0} f_{y} (0, h) - f_{y} (0, 0) = lim_{h \to 0} \frac{0 - 3 h^{2} * 0}{(0 + 3 h^{2})^{2}} - 0 = 0

Also stetig partiell differenzierbar, also vollständig differenzierbar.

Ist aber nicht vollständig differenzierbar. Wo ist mein Fehler?

Jakob1000 aktiv_icon

20:12 Uhr, 25.08.2010

fehlt noch

lim_{h \to 0} \frac{f_{y} (h, 0) - f_{y} (0, 0)}{h}

, und hier liegt auch die Unstetigkeit. Dankeschön!

smoka

20:18 Uhr, 25.08.2010

Ganz genau.

783801

783733

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