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Cauchy-Folge berechnen

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Tags: Cauchy-Folgen, Folgen, Reihen

tommy40629 aktiv_icon

12:46 Uhr, 04.09.2012

Ich habe hiermit http//www.youtube.com/watch?v=bw4HXjqsVRc

versucht eine Cauchyfolge nachzuweisen. Was ich extrem schwer fand, ist wie immer dieses Abschätzen. Da ich nicht weiß, wohin ich meinen Term abschätzen soll. Ich habe das Alles rot umrandet.

Ist es denn egal, ob m oder n stehen bleibt??

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Sina86

13:08 Uhr, 04.09.2012

Hi,

ich hab mir jetzt den rot umrandeten Bereich angeschaut, da ist die erste Abschätzung falsch.

∣ \frac{n - m}{2 n (2 m + 1)} ∣ \leq ∣ \frac{n}{2 n (2 m + 1)} ∣

ist im Allgemeinen falsch, setze z.B.

n = 1

m = 51

.
Aber du kannst die Dreiecksungleichung des Betrages verwenden:

∣ \frac{n - m}{2 n (2 m + 1)} ∣ \leq ∣ \frac{n}{2 n (2 m + 1)} ∣ + ∣ \frac{- m}{2 n (2 m + 1)} ∣ = ∣ \frac{n}{2 n (2 m + 1)} ∣ + ∣ \frac{m}{2 n (2 m + 1)} ∣ = ∣ \frac{1}{4 m + 2} ∣ + ∣ \frac{m}{2 n (2 m + 1)} ∣

< ∣ \frac{1}{4 m} ∣ + ∣ \frac{m}{4 n m} ∣ = ∣ \frac{1}{4 m} ∣ + ∣ \frac{1}{4 n} ∣

Und dieser Term soll jetzt kleiner als

ɛ > 0

sein. Natürlich können

n, m

stehen gelassen werden, denn gesucht ist ja nur nach einem fixen

n_{0}

und

n, m > n_{0}

. Schau also z.B.

∣ \frac{1}{4 n} ∣ = \frac{1}{4 n} < \frac{ɛ}{2} \Leftrightarrow \frac{1}{2 ɛ} < n

analaog erhält man

\frac{1}{2 ɛ} < m

Wähle nun

n_{0} > \frac{1}{2 ɛ}

, dann gilt natürlich für

n, m > n_{0} > \frac{1}{2 ɛ}

und somit

∣ \frac{1}{4 m} ∣ + ∣ \frac{1}{4 n} ∣ < \frac{ɛ}{2} + \frac{ɛ}{2} = ɛ

Gruß
Sina

tommy40629 aktiv_icon

13:15 Uhr, 04.09.2012

Ja die Dreiecksungleichung, sie ist ja glaube ich das elementare Werkzeug für das Abschätzen.

Dann suche ich mir eine neue Aufgabe und werde an dieser Alle Deine Tipps umsetzen.

Schon mal vielen Dank!!

hagman aktiv_icon

13:42 Uhr, 04.09.2012

n = 1, m = 51

kann nicht eintreten, denn es steht ja "oBdA n>m" weiter oben.

tommy40629 aktiv_icon

07:48 Uhr, 06.09.2012

$@ Sina,$

$\frac{ϵ}{2}$

$ϵ > 0$

tommy40629 aktiv_icon

09:44 Uhr, 06.09.2012

Was ich noch nicht so ganz verstehe, ist wie man einfach so Zahlen weglassen darf. Ja gut, es ist eine Ungleichung, da darf man dann etwas abziehen, so dass sie ungleich bleibt.

Aber woher weiß ich denn, welche zahlen, Variablen oder was auch immer ich weglassen darf. Im untrigen Beispiel läßt man die 2 und die 1 weg.

Ich hätte aber auch die 4 oder das m weglassen können. Warum genau nur die 2 und die 1??

Sina86

20:50 Uhr, 06.09.2012

Hi,

also zunächst einmal hat hagman recht, du hast über oBdA die Annahme gemacht, dass

n \geq m

ist, deswegen war mein Kommentar nicht ganz richtig und deine Lösung an sich auch ok (ist aber ein wenig eine Geschmacksfrage, wann man bei so einem Beweis eine oBdA-Annahme machen darf).

Dann zu deiner ersten Frage: streng genommen darfst du nicht

ɛ

nehmen, denn sonst kommst du auf das Ergebnis

\frac{1}{4 m} + \frac{1}{4 n} < 2 ɛ

, aber mit der Begründung, dass du ja

ɛ

so klein wie du willst wählen kannst, stimmt das Ergebnis schon und würde wohl auch akzeptiert werden. Aber eigentlich kannst du zeigen

\frac{1}{4 m} < \frac{p}{q} ɛ, \frac{1}{4 n} < \frac{r}{s} ɛ

, für

p, q, r, s \in ℕ

, so dass

\frac{p}{q} + \frac{r}{s} = 1

ist, dann ist es korrekt. Aber warum nicht einfach

\frac{1}{2}

wählen?

Dann zu deiner zweiten Frage:
Ich würde es mir immer mit dem Kehrwert klar machen:

4 m + 1 > 4 m \Leftrightarrow \frac{1}{4 m + 1} < \frac{1}{4 m}

Und du musst immer überlegen, ob du nach oben oder unten abschätzen willst. Hier willst du nach oben abschätzen und eine obere Grenze finden, also ist der Schritt ok. Stände dort anstatt dem Plus ein Minus, würde es natürlich nicht gehen.

Gruß
Sina

tommy40629 aktiv_icon

14:37 Uhr, 07.09.2012

Ok, Du kannst das echt gut für Normalstrebliche beschreiben.

Jetzt müßte ich das Thema eigentlich einüben, bis ich das im Schlaf kann, nur die nächsten Themen überrennen mich schon.

Dann vielen Dank!!

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