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Cauchy-Folge + geometrische Reihe

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Cauchy Folge, Geometrische Reihe

8mileproof aktiv_icon

02:18 Uhr, 12.11.2011

hi,

finde bei folgender aufgabe keinen ansatz:

Sei

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

eine Folge mit

| a_{n} - a_{n + 1} | \leq 2^{- n}

Zeigen Sie, dass dies eine Cauchy-Folge ist.

als hinweis ist gegeben, dass ich

| a_{n} - a_{n + 1} |

für

m, n \in ℕ

mithilfe der harmonischen Reihe abschätzen soll:

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = (\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}),

wobei

q \neq 1

nun ja, dazu habe ich mir folgendes gedacht:

| (\frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}) - (\frac{1 - q^{m + 1}}{1 - q}) | \leq 2^{- n}

und dann dachte ich mir kann ich die 1 mit dem 1 des anderen subtrahieren und somit verschwindet es. also

| \frac{- q^{n + 1}}{1 - q} + \frac{q^{m + 1}}{1 - q} | \leq 2^{- n}

| \frac{- q^{n + 1} + q^{m + 1}}{1 - q} | \leq 2^{- n}

an dieser stelle dachte ich ich darf die betragstriche weglassen und den nenner rüber auf die andere seite bringen:

- q^{n + 1} + q^{m + 1} \leq 2^{- n} \cdot (1 - q)

- q^{n + 1} + q^{m + 1} \leq 2^{- n} - 2 q^{- n}

ab hier wusste ich ehrlich gesagt nicht mehr weiter...bitte daher um hilfe...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Yokozuna aktiv_icon

13:18 Uhr, 12.11.2011

Hallo,

beweisen mußt Du folgendes:

{(a_{n})}_{n \in ℕ}

ist eine Folge mit

| a_{n} - a_{n + 1} | \leq \frac{1}{2^{n}} \Rightarrow \forall ε > 0 \exists N \in ℕ \forall n, m \geq N : | a_{n} - a_{m} | < ε

Wir brauchen also eine Abschätzung für

| a_{n} - a_{m} |,

wobei der Abstand zwischen

n

und

m

beliebig groß sein kann, haben aber nur eine Abschätzung für direkt benachbarte Folgenglieder

| a_{n} - a_{n + 1} | \leq \frac{1}{2^{n}}

.
Ohne Beschränkung der Allgemeinheit können wir annehmen, daß

n < m

ist. Wir schreiben

| a_{n} - a_{m} |

etwas um und wenden dann die Dreiecksungleichung an:

| a_{n} - a_{m} | = | a_{n} - a_{n + 1} + a_{n + 1} - a_{n + 2} + a_{n + 2} - . .

- a_{m - 1} + a_{m - 1} - a_{m} | \leq

| a_{n} - a_{n + 1} | + | a_{n + 1} - a_{n + 2} | + | a_{n + 2} - a_{n + 3} | + . .

| a_{m - 2} - a_{m - 1} | + | a_{m - 1} - a_{m} |

Jetzt können wir die Abschätzung für direkt benachbarte Folgenglieder anwenden:

| a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} - a_{n + 1} | + | a_{n + 1} - a_{n + 2} | + | a_{n + 2} - a_{n + 3} | + . .

| a_{m - 2} - a_{m - 1} | + | a_{m - 1} - a_{m} | \leq

\frac{1}{2^{n}} + \frac{1}{2^{n + 1}} + . .

+ \frac{1}{2^{m - 1}} = \sum_{k = n}^{m - 1} \frac{1}{2^{k}}

Jetzt mußt Du die Summenformel für die geometrische Reihe zum Einsatz bringen. Schau mal, ob Du damit weiterkommst. Ansonsten einfach noch mal melden.

Viele Grüße
Yokozuna

8mileproof aktiv_icon

15:11 Uhr, 12.11.2011

danke bis hierhin. die dreiecksungleichung hatten wir noch gar nicht in der vorlesung, aber ich weiß ungefähr, warum das so ist, wie du es hingeschrieben hast.

ich habe auch keine ahnung wie ich die summenformel einbauen kann. muss ich das für das

2^{k}

einsetzen?

Shipwater aktiv_icon

15:15 Uhr, 12.11.2011

Dreiecksungleichung ist schnell bewiesen:
http//de.wikipedia.org/wiki/Dreiecksungleichung#Dreiecksungleichung_f.C3.BCr_reelle_Zahlen
Und

\frac{1}{2^{k}} = {(\frac{1}{2})}^{k}

also geometrische Summenformel anwenden mit

q = \frac{1}{2}

8mileproof aktiv_icon

16:41 Uhr, 12.11.2011

also nur

\frac{1}{2}

für

q

einsetzen und dann ist die aufgabe gelöst?

Shipwater aktiv_icon

16:43 Uhr, 12.11.2011

Nur nichts überstürzen. Du sollst jetzt erstmal

\sum_{k = n}^{m - 1} {(\frac{1}{2})}^{k}

mit der geometrischen Summenformel berechnen.
Dafür kannst du zunächst eine Indexverschiebung vornehmen: de.wikipedia.org/wiki/Indexverschiebung
Sinnvollerweise soll die Summe danach bei

k = 0

anfangen, da die Summenformel

\sum_{k = 0}^{n} q^{k} = \frac{1 - q^{n + 1}}{1 - q}

bekannt ist.
Ich erhalte

\sum_{k = n}^{m - 1} {(\frac{1}{2})}^{k} = \frac{2}{2^{n}} - \frac{2}{2^{m}}

. Versuch das nachzuvollziehen.

8mileproof aktiv_icon

18:37 Uhr, 12.11.2011

das beispiel bei wikipedia habe ich verstanden, aber das was du aufgeschrieben hast, kann ich immer noch nicht nachvollziehen.....sorry...

Shipwater aktiv_icon

18:56 Uhr, 12.11.2011

Macht nichts. Ich meinte das so mit der Indexverschiebung:

\sum_{k = n}^{m - 1} {(\frac{1}{2})}^{k} = \sum_{k = 0}^{m - 1 - n} {(\frac{1}{2})}^{k + n}

Jetzt kannst du noch das Potenzgesetz

{(\frac{1}{2})}^{k + n} = {(\frac{1}{2})}^{k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

verwenden und erhältst:

{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot \sum_{k = 0}^{m - 1 - n} {(\frac{1}{2})}^{k}

Wende jetzt die geometrische Summenformel an.

8mileproof aktiv_icon

19:58 Uhr, 12.11.2011

ich weiß, dass du mir ziemlich viel hilfst und vielleicht auch mehr schreibst als nötig. das problem ist, dass ich selber niemals auf die idee mit der indexverschiebung gekommen wäre. und es ist mir wichtig das zu verstehen. deswegen würde ich mir gerne zeit nehmen um den zusammenhang zu verstehen. dafür brauche ich etwas zeit. sollte ich immer noch nicht weitergekommen sein, werde ich mich sicherlich melden...

Shipwater aktiv_icon

20:08 Uhr, 12.11.2011

Mit der Indexverschiebung soll einfach nur erreicht werden, dass die Summe bei