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Cauchy-Folge nachweisen

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Folgen und Reihen

Tags: Cauchy, Cauchy Folge, Folgen und Reihen

Helpneeder

23:00 Uhr, 24.11.2016

Hallo zusammen.

Ich habe hier eine Aufgabe zu Cauchy-Folgen und weiß gar nicht, wie ich da heran gehen soll. Es ist die erste Aufgabe zu Cauchy-Folgen, die ich versuche.

a_{n}

sei eine Folge in

ℝ

und

C

eine Zahl in

ℝ

.
Es gelte nun:

| a_{n + 1} - a_{n} | < C \cdot 2^{- n}

für alle

n \in ℕ

.
Es ist zu zeigen, dass

a_{n}

eine Cauchy-Folge ist.

Wie gesagt, ich weiß gar nicht, wie ich anfangen soll.

Da schätzungsweise die Definition gebraucht wird, habe ich mir diese notiert:

\forall ε > 0 \exists n_{0} \in ℕ : \forall m, n \geq n_{0} : | a_{m} - a_{n} | < ε

Ich vermute, dass die Aufgabe ähnlich funktioniert, wie die erste Aufgabe zu Cauchy-Folgen, die hier zu finden ist:
de.wikibooks.org/wiki/Mathe_f%C3%BCr_Nicht-Freaks:_Aufgaben_zu_Teilfolgen,_H%C3%A4ufungspunkte_und_Cauchy-Folgen#Aufgaben_zu_Cauchy-Folgen

Kann mir jemand verraten, wie ich diese Aufgabe angehen muss?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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07:09 Uhr, 25.11.2016

Die Lösung ist ein Einzeiler:

∣ a_{m} - a_{n} ∣ = ∣ a_{m} - a_{m - 1} + a_{m - 1} - a_{m - 2} + . . . - a_{n} ∣ \leq ∣ a_{m} - a_{m - 1} ∣ + . . . ∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣ \leq \sum_{k = n}^{m} 2^{- k} \leq 2^{- n + 1}

Helpneeder

20:19 Uhr, 26.11.2016

Die letzten zwei Schritte kann ich leider noch nicht so ganz nachvollziehen.
Könntest du dir die Mühe machen, die ein bisschen zu erläutern?

Noch dazu fehlt mir noch ein bisschen die Anschauung, glaube ich.
Ich verstehe nicht ganz, inwieweit deine Lösung sich auf die Fragestellung bezieht.
Warum gilt / sollte gelten:

| a_{m} - a_{n} | \leq 2^{- n + 1} \Rightarrow a_{n}

ist eine Cauchy-Folge?

Tut mir leid, falls meine Fragen ein bisschen blöd sind, aber ich steige da noch nicht ganz durch.

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21:10 Uhr, 26.11.2016

"Die letzten zwei Schritte kann ich leider noch nicht so ganz nachvollziehen."

Welche genau?
Du verstehst

\sum_{k = n}^{m} 2^{- k} \leq 2^{- n + 1}

nicht?
Etwas ausführlicher:

\sum_{k = n}^{m} 2^{- k} \leq \sum_{k = n}^{\infty} 2^{- k} = 2^{- n} \sum_{k = 0}^{\infty} 2^{- k} = 2^{- n} \cdot 2 = 2^{- n + 1}

.
Was verstehst Du sonst nicht?

"Warum gilt / sollte gelten:

∣ a_{m} - a_{n} ∣ \leq 2^{- n + 1} \Rightarrow a_{n}

ist eine Cauchy-Folge?"

Nach Definition.
Genauer:

\forall ε > 0

\exists N :

2^{- N + 1} < ε

(das ist offensichtlich)
dann aber gilt für alle

m \geq n \geq N

∣ a_{m} - a_{n} ∣ \leq 2^{- n + 1} \leq 2^{- N + 1} < ε

.
Das ist die Definition von Cauchy-Folge.

Helpneeder

22:57 Uhr, 26.11.2016

Okay, vielen Dank!
Ich denke, ich habe es jetzt verstanden.
Zumindest bin ich näher dran als vorher.
Allerdings habe ich nicht das Gefühl, dass ich auf solche Abschätzungen je selbst kommen könnte.

Was mir noch fehlt, ist der vorletzte Schritt.
Also in deiner ersten Antwort.
Die Ungleichung, bei der auf der rechten Seite das Summenzeichen auftaucht.
Wie kommt man darauf?

DrBoogie aktiv_icon

09:21 Uhr, 27.11.2016

∣ a_{m} - a_{m - 1} + a_{m - 1} - a_{m - 2} + . . . - a_{n} ∣ \leq ∣ a_{m} - a_{m - 1} ∣ + ∣ a_{m - 1} - a_{m - 2} ∣ + . . . + ∣ a_{n + 1} - a_{m} ∣

ist die Dreiecksungleichung.

∣ a_{m} - a_{m - 1} ∣ + ∣ a_{m - 1} - a_{m - 2} ∣ + . . . + ∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣ \leq 2^{- m + 1} + 2^{- m + 2} + . . . + 2^{- n}

folgt aus der Bedingung der Aufgabe (

∣ a_{n + 1} - a_{n} ∣ \leq 2^{- n}

).
Hier sieht man, dass die Summe in Wirklichkeit bis

m - 1

gehen muss, nicht bis

m

Helpneeder

15:48 Uhr, 27.11.2016

Ahsoo, okay, danke sehr.

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