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Cauchy Formel für Ableitungen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

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16:24 Uhr, 20.12.2020

Hallo zusammen,

Ich habe folgende Aufgabe zu lösen:

Es sei

U \subset C

offen und

\bar{B_{r} (z_{0})} \subset U

die abgeschlossene Kreisscheibe für ein festes

r > 0

. Weiterhin
sei

f : U \to ℂ

eine holomorphe Funktion, die auf dem Kreisrand

| z

−

z_{0} | = r

durch

| f (z) | \leq C

beschränkt ist.

(a)Nutzen Sie die Cauchy-Formel für Ableitungen, um die Abschätzung

| f' (z_{0}) | \leq \frac{C}{r}

herzuleiten.

(b)

Sei

f

auf ganz

ℂ

holomorph und beschränkt. Zeigen Sie, dass

f

dann konstant ist.

Ich habe leider keine Ahnung, wie ich beginnen soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Mitternachtsformel

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16:28 Uhr, 20.12.2020

Die besagte Formel aufschreiben und abschätzen. Das sind zwei Zeilen höchstens.

Wenn du die Formel nicht kennt: hier auf der Seite 160:
www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/kf/08/vorl08.pdf

Du brauchst sie nur für

n = 1

. Und für den Kreis.

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16:58 Uhr, 20.12.2020

Sind ζ und Γ aus der Formel hier dann

z

und die Parameterdarstellung des Kreises?

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17:00 Uhr, 20.12.2020

Ja, richtig erkannt

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17:07 Uhr, 20.12.2020

Demnach

f' (z_{0}) = \frac{1}{2 \cdot π \cdot i} \int_{| z - z_{0} | = r} \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{2}} d z = \frac{1}{2 \cdot π \cdot i} \int_{| z - z_{0} | = r} \frac{f (z)}{r^{2}} d z

Wie mache ich hier weiter, muss ich für

f (z)

die Kreisgleichung einsetzen?

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17:10 Uhr, 20.12.2020

"Wie mache ich hier weiter, muss ich für f(z) die Kreisgleichung einsetzen?"

Nein, du kannst direkt die Abschätzung nutzen.
Übrigens, das letzte Integral ist falsch, denn

z - z_{0} = r e^{i t}

und nicht einfach

r

.
Also ist es besser, auch den Nenner in die Abschätzung reinziehen.

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17:19 Uhr, 20.12.2020

Dann wäre

| f' (z_{0}) | = | \frac{1}{2 \cdot π \cdot i} \int_{| z - z_{0} | = r} \frac{f (z)}{r^{2} \cdot e^{2 i \cdot t}} d z |

Wie komme ich hier auf

\leq \frac{C}{r}

wenn ich nach

z

integrieren soll?

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17:21 Uhr, 20.12.2020

Du musst nicht integrieren, sondern abschätzen. Wenn

∣ g (z) ∣ \leq C

für alle

z

, dann gilt

∣ \int_{Γ} g (z) d z ∣ \leq C ∣ Γ ∣

, wobei

∣ Γ ∣

die Länge der Kurve ist.

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17:32 Uhr, 20.12.2020

Sorry, kann nicht ganz folgen.

Ich habe jetzt

| f' (z_{0}) | = | \frac{1}{2 i \cdot π} \int_{| z - z_{0} | = r} \frac{f (z)}{r^{2} \cdot e^{2 i \cdot t}} d z |

dastehen.

mit

| f (z) | \leq C

folgt

\int f (z) d z \leq C \cdot 2 π r

Ziehe ich dann

r^{2} \cdot e^{2 i \cdot t}

vor das Integral um zur Lösung zu kommen?

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17:42 Uhr, 20.12.2020

Du hast für alle

z

auf der Kurve

{z : ∣ z - z_{0} ∣ = r}

∣ f (z) ∣ \leq C

und eben

∣ z - z_{0} ∣ = r

, deshalb gilt

∣ \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{2}} ∣ \leq \frac{C}{r^{2}}

auf dieser Kurve und dann

∣ \int_{∣ z - z_{0} ∣ = r} \frac{f (z)}{(z - z_{0})^{2}} d z ∣ \leq \frac{C}{r^{2}} \cdot

Länge von

{z : ∣ z - z_{0} ∣ = r} = \frac{2 π r C}{r^{2}}

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17:53 Uhr, 20.12.2020

Und der Faktor

\frac{1}{2 \cdot π \cdot i}

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17:54 Uhr, 20.12.2020

Ich wollte ihn nicht mitschleppen. Aber er kommt natürlich dazu. Nur halt der Betrag davon, wir schätzen ja den Betrag ab.

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18:01 Uhr, 20.12.2020

Okay aber dann haben wir da stehen

| f' (z_{0}) | = | \frac{1}{2 \cdot π \cdot i} \int \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{2}} d z | \leq \frac{2 π C}{r}

und gefordert war ja

| f' (z_{0}) | \leq \frac{C}{r}

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18:04 Uhr, 20.12.2020

Nein,

2 π

aus dem Zähler kürzt sich mit

2 π

aus dem Nenner. Die

2 π

aus dem Nenner kommen gerade aus dem Faktor

\frac{1}{2 π i}

, den ich ignoriert habe.

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18:08 Uhr, 20.12.2020

Also sollte da stehen

| f' (z_{0}) | = | \frac{1}{2 \cdot π \cdot i} \frac{f (z)}{{(z - z_{0})}^{2}} d z | \leq \frac{1}{2 \cdot π \cdot i} \cdot \frac{2 π C}{r}

?

Und das i?

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18:12 Uhr, 20.12.2020

Ich hab doch gesagt: Betrag nehmen!

∣ \frac{1}{2 π i} \int . . . ∣ = ∣ \frac{1}{2 π i} ∣ \cdot ∣ \int . . . ∣ = \frac{1}{2 π} \cdot ∣ \int . . . ∣

usw.

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18:24 Uhr, 20.12.2020

Okay danke.

Für die

(b)

hab ich einen Ansatz gefunden:

Ist

| f |

in einem Punkt

z_{0} \in U

maximal, so gilt mit

c := | f (z_{0}) |

für jeden Kreis mit Br(z_0)

\subset U

und

U \subset ℂ

C = | f (z_{0}) | \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} | f (z_{0} + r e^{i t}) | d t \leq \frac{1}{2 π} \int_{0}^{2 π} C d t = C

somit muss durchgehend Gleichheit und

| f (z) | = C

für alle

z

mit

| z - z_{0} | = r

gelten

Damit ist aber nur bewiesen, dass

f

auf dem Kreis konstant ist, oder?
Die Aufgabenstellung sagt aber nicht, ob

f

auf ganz

ℂ

konstant sein soll.
Wie zeige ich, dass

f

auf ganz

ℂ

konstant ist?

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18:28 Uhr, 20.12.2020

"Für die (b) hab ich einen Ansatz gefunden:"

Der leider nicht viel bringt.

Du kannst a) nutzen und zeigen, dass die Ableitung von

f

überall

0

ist. Daraus folgt, dass die Funktion konstant ist.

muri10 aktiv_icon

18:36 Uhr, 20.12.2020

Ich nehme an, dass ich dann dafür

(z - z_{0})

durch

r \cdot e^{i t}

ersetzen muss?

Wie integriere ich das ganze? Habe mit komplexen, Kurven-,

. .

. integralen so meine Probleme.

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18:38 Uhr, 20.12.2020

Du musst überhaupt nichts integrieren.
Du weißt, dass

∣ f^{ʹ} (z_{0}) ∣ \leq C / r

gilt. Und wenn

f

überall holomorph und durch

C

beschränkt ist, kannst du in dieser Abschätzung

r

beliebig groß nehmen. Damit muss

f^{ʹ} (z_{0}) = 0

sein. Und das gilt in jedem Punkt

z_{0}

. Also überall.

muri10 aktiv_icon

18:44 Uhr, 20.12.2020

Okay, ich hoffe mal, dass das als Begründung reicht.

Erneut besten Dank für die Hilfe.

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19:34 Uhr, 20.12.2020

Reicht für Wikipedia. :-)
de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Liouville_(Funktionentheorie)
Und auch für Wikiversity
de.wikiversity.org/wiki/Kurs:Funktionentheorie/Satz_von_Liouville

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