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Cauchy Kriterium einer Folge

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Cauchy Folge, Cauchy Kriterium, Folgen, Reihen

Kev8463

19:24 Uhr, 08.01.2012

Hallo,
zerbreche mir mal wieder den Kopf ohne Erfolg. Es geht um eine Folge

a_{n}

mit(n in NN)für die gilt:

\exists q \in ℝ

mit

0 < q < 1 : | a_{n + 1} - a_{n} | \leq q \cdot | a_{n} - a_{n - 1} |

mit

n \geq 2

Es soll gezeigt werden, dass

a_{n}

konvergiert.

Mir fehlt der Ansatz, ich weiß nur dass ich die geometrische Summenformel anwenden soll:

\sum_{j = 0}^{k} q^{j} = \frac{1 - q^{k + 1}}{1 - q}

Cauchykriterium ist mir bekannt:

| a_{n} - a_{m} | < ε

für alle

n, m < n_{0} (ε)

Doch wie komme ich auf mein

a_{n}

?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matter667 aktiv_icon

00:48 Uhr, 09.01.2012

hallo
du kannst das Problem auf folgende Weise lösen:
betrachte ∣an+1−an∣∣≤q⋅|an−an−1|≤....., führe die Ungleichungskette nach rechts fort
und du erhälst ∣an+1−an∣∣≤q^(n-2) ⋅|a3−a2|
nun zeige, dass an eine Cauchyfolge ist, was bedeutet dass?
überlege dir wie du mittles Dreicksungleichung |am−an| (mit

m > n)

nach oben abschätzen kannst um auf der rechten Seite nur was mit einer Summe von

q

(mit verschiedenen Exponenten) und |a3−a2| erhalten kannst.
das Stichwort um die (allgemeine) Dreiecksungleichung einzusetzen lautet hier
in |am−an| alle Folgenglieder zwischen am-1 und an+1 addieren und subtrahieren.

Viel Glück!

Kev8463

13:46 Uhr, 09.01.2012

ich glaube ich habe die Fortsetzung schon nicht gesehen...

also es gilt:

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq q^{1} \cdot | a_{n} - a_{n - 1} | \leq q^{2} | a_{n - 1} - a_{n - 2} | \leq . .

\leq q^{n - 2} | a_{3} - a_{2} |

soweit so gut, die allgemeine Dreiecksungleichung bedeutet:

| a_{n} - a_{m} | \leq | a_{n} | + | a_{m} | < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε

also vielleicht nochmal ein schritt zurück:
Cauchy-Kriterium besagt dass die Summe aller Reste ab

n_{ε}

kleiner sind als

ε

| \sum_{k = n}^{m} a_{k} | < ε

für

m \geq n \geq n_{ε}

aber ich kenne mein

a_{n}

ja nicht, somit kann ich doch auch kein Rest finden. Wäre einfacher wenn ich

z . B

a_{n} = \frac{1}{n}

gegeben hätte.

Ich versuchs mal:

| a_{n} | + | a_{m} | = | (q^{n - 2} | a_{3} - a_{2} |) | + | (q^{m - 2} | a_{3} - a_{2} |) |

wie komme ich hier auf eine Summe?

Matter667 aktiv_icon

20:39 Uhr, 09.01.2012

Die (allgemeine) Dreiecksungleichung hat nichts mit $ϵ$ zu tun, sondern meint $| a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} | \leq | a_{1} | + | a_{2} | + ... + | a_{n} |$

weiter verwechselst du hier evtl. Folge mit Reihe, hier geht es um die Konvergenz einer Folge $(a_{n})$ , die Folgenglieder werden also nicht aufsummiert. Du kannst hier zeigen, dass die Folge eine Cauchyfolge ist, Cauchyfolge und Cauchykriterium sind zwei verschiedene Dinge, das Cauchykriterium wird nur zum Zeigen der Konvergenz von Reihen benötigt. Schau dir am besten die Definition der Cauchyfolge nochmals an (z.B. hier: http//de.wikipedia.org/wiki/Cauchy-Folge ) entscheidend ist, dass in R^1 jede Cauchyfolge eine konvergente Folge ist.

Dein Ansatz ganz unten (bei "ich versuchs mal") ist gut und wird verwendet, vorher musst du dir aber genau klar machen, was du zeigen musst, damit die Folge eine Cauchyfolge ist.

Gruss Matter

Kev8463

14:34 Uhr, 15.01.2012

also ich habe mich jetzt nochmal mit einem Kollegen mit der Aufgabe beschäftigt, aber wir sind auf keinen grünen Zweig gekommen.
Kannst du mir den nächsten Schritt noch verraten?

Es ist eine Cauchyfolge wenn es ein Index

N (z . B

a_{4})

gibt, ab dem die Folgeglieder

(a_{5}

bis

a_{n})

immer näher an

ε

kommen. Bei

\frac{1}{x}

würden die Folgenglieder beispielsweise immer weiter an 0 rankommen. Aber immer größer 0 sein.

In dieser Aufgabe wird

q

mit steigender Potenz auch immer kleiner, da

0 < q < 1

.
Also ist

q^{1} > q^{n}

Aber ich komm einfach auf kein Ansatz, bzw. auf ein

a_{n}

Matter667 aktiv_icon

20:02 Uhr, 15.01.2012

Dein Verständniss "Es ist eine Cauchyfolge wenn es ein Index $N (z . B$ . $a_{4})$ gibt, ab dem die Folgeglieder $(a_{5}$ bis $a_{n})$ immer näher an $ε$

$ist leider falsch, der Index N ist eine natürliche Zahl (also 1,2,3,...), a_n ist das Folgenglied der Folge mit Index n, also z.B. ist a_5 das fünfte Folgenglied und 5 ist der Zugehörige Index.$

$ε$

$Mache dir zuerst die Definition der Cauchyfolge klar.$

Kev8463

00:01 Uhr, 16.01.2012

Das stimmt wohl, du merkst ich bin mit meinen Überlegungen zu sehr an Reihen gestrickt. Allerdings habe ich jetzt denke eine Cauchy Folge verstanden, jedenfalls hab ich mir das ganze jetzt schon 5mal durchgelesen und du hast mich ja gerade nochmal verbessert. Aber deine Tipps sind ja auch alle schön und gut, jedoch komme ich nicht weiter.

ich fange jetzt nochmal an und du korrigierst mich oder setzt fort:
wir haben

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq q^{n - 2} | a_{3} - a_{2} |

"nun zeige, dass an eine Cauchyfolge ist, was bedeutet dass?"
Es ist eine Cauchyfolge wenn

| a_{m} - a_{n} | < ε

mit

m > n,

also der Abstand zwischen den Folgengliedern ist kleiner als

ε

"Mittels Dreiecksgleichung nach oben abschätzen kannst, um auf der rechten Seite nur was mit einer Summe von

q

(mit verschiedenen Exponenten) und |a3−a2| erhalten kannst"
"das Stichwort um die (allgemeine) Dreiecksungleichung einzusetzen lautet hier
in |am−an| alle Folgenglieder zwischen am-1 und an+1 addieren und subtrahieren."

Kann ich hier anstatt

a_{m}

auch

a_{n + 1}

für die Dreiecksungleichung wählen?

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq q^{n - 2} | a_{3} - a_{2} |

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq | a_{n + 1} | + | a_{n} |

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq | q^{n + 1 - 2} | a_{3} - a_{2} | | + | q^{n - 2} | a_{3} - a_{2} | |

| a_{n + 1} - a_{n} | \leq | q^{n - 1} | a_{3} - a_{2} | | + | q^{n - 2} | a_{3} - a_{2} | |

Ich hab keine Ahnung was du mit Folgegleider addieren und subtrahieren meinst und wie ich hier eine Summe bilden soll. Ich finde das über Internet auch nicht einfach, aber es würd mir denke am meisten helfen die Lösung zu sehen.

Matter667 aktiv_icon

05:44 Uhr, 16.01.2012

Deine Beschreibung "Es ist eine Cauchyfolge wenn $| a_{m} - a_{n} | < ε$ mit $m > n$

du musst von $| a_{m} - a_{n} |$ ausgehen wie es ja auch in der Definition gegeben ist, Wenn du was direkt mit der Definition zeigen willst (wie es hier der Fall ist) musst du genau das verwenden was in der Definition angegeben ist, hier ist ja die Ausgangslage (eben gemäss der Definition und nicht der Aufgabenstellung)

$| a_{m} - a_{n} |$ mit beliebigen natürlichen Zahlen m,n (du kannst m>n annehmen) und der Folge (a_n) mit der Eigenschaft wie sie in der Aufgabenstellung angegeben

ist. Wie in meiner ersten Antwort beschrieben machst du die Ungleichung folgendermassen:

$⌈ a_{m} - a_{n} ⌉ = | a_{m} + (a_{m - 1} - a_{m - 1}) + ....... + (a_{n + 1} - a_{n + 1}) - a_{n} | \leq | a_{m} - a_{m - 1} | + | a_{m - 1} - a_{m - 2} | + ..... + | a_{n + 1} - a_{n} |$

(das meinte ich mit "Folgegleider addieren und subtrahieren") die rechte Seite ist ja dann gleich einer Summe wie in der Aufgabenstellung beschrieben, der Sinn dieser Ungleichung ist natürlich, dass man nach oben abschätzt mit Termen wo die Folgenglieder a_n nicht mehr vorkommen. Im nächsten Schritt benutzt du dann die geometrische Reihe um damit nach oben mit epsilon abzuschätzen.

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