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Cauchy-Produkt

Universität / Fachhochschule

Tags: Cauchy-Produkt absolut konvergente Reihen

Haseandreas aktiv_icon

17:14 Uhr, 14.01.2022

Liebe Mathehelfer,
ich möchte das Cauchy-Produkt bilden von den zwei absolut konvergenten Folgen (Konvergenzradius ist jeweils

1,

das habe ich bereits bewiesen)

Summe

(k = 0

bis unendlich) über

(k + 1) x^{k}

Summe

(k = 0

bis unendlich) über

x^{k}

Wenn ich nun die Berechnungsformel für das Cauchy-Produkt anwende, komme ich auf eine divergente Reihe, was nicht stimmen kann. Ich hänge meinen Lösungsweg als Bild an, da ich nicht mit dem Formeleditor umgehen kann. Bitte seht mir das nach.

Herzliche Grüße
Haseandreas

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

ledum aktiv_icon

17:36 Uhr, 14.01.2022

Hallo
Dein Fehler

:

in der vorletzten Zeile machst du aus der Summe über

\sum x^{k} \cdot S_{k} (S_{k}

die Summe über

j

bis

k)

das Produkt 2 er Summen, statt einfach die innere Summe auszurechnen .
Gruß ledum

Haseandreas aktiv_icon

17:56 Uhr, 14.01.2022

Danke, also bin ich nicht auf dem Holzweg.
Das Produkt ist tatsächlich falsch.
Die Summe über

(j + 1)

von

j = 0

bis

k

ist

(1 + 2 + 3 + ... + k + 1) = \frac{k (k + 1)}{2}

Also erhalte ich die Summe von

k = 0

bis unendlich über

(x^{k} \cdot \frac{k (k + 1)}{2})

?
Ich sehe nicht, wie ich damit weiter verfahren kann und bitte um Unterstützung.
LG
Haseandreas

Kann mir niemand helfen? Wie komme ich weiter?
LG
Haseandreas

HAL9000

09:33 Uhr, 15.01.2022

Leicht verzählt: Es ist

a_{k} = \sum_{j = 0}^{k} (j + 1) = \sum_{j = 1}^{k + 1} j = \frac{(k + 1) (k + 2)}{2}

, dabei besteht der Zusammenhang

c_{k} = a_{k} x^{k}

zu deinem

c_{k}

.

Reihenwert ist übrigens

\frac{1}{{(1 - x)}^{3}}

, wie überhaupt generell

\sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} k + m \\ m \end{array}) x^{k} = \frac{1}{{(1 - x)}^{m + 1}}

für alle

m \geq 0, ∣ x ∣ < 1

gilt.

Haseandreas aktiv_icon

12:00 Uhr, 15.01.2022

Herzlichen Dank für die weitere Erhellung.
Ich erhalte also als Cauchy-Produkt die Reihe

Summe von

k = 0

bis unendlich über den Binominalkoeffizienten((k

+ 2)

über

2) \cdot x^{k}

Wir hatten in der Vorlesung den Reihenwert der geometrischen Reihe

= \frac{1}{1 - q}

. Die Grenzwertregel, wie du sie mir nennst, kann ich mich leider nicht verwenden, da wir sie bislang nicht hatten. Wie kann ich sie mir selbst herleiten?

Ich bin sehr dankbar, für die wiedermals geniale Hilfe.

VG
Haseandreas

HAL9000

13:48 Uhr, 15.01.2022

> Die Grenzwertregel, wie du sie mir nennst, kann ich mich leider nicht verwenden, da wir sie bislang nicht hatten.

Ich hab ja auch nicht gesagt, dass du die verwenden sollst. Sondern nur, dass man diese allgemeinere Formel mit genau derselben Methode "Cauchy-Produkt", und zwar per Vollständiger Induktion über

m

nachweisen kann.

Haseandreas aktiv_icon

14:32 Uhr, 15.01.2022

Im anhängenden Bild ist der Beginn meines Versuchs dieses Beweises. In der letzten Zeile ist die Summe so aufgestellt, dass man erkennt, dass die IV verwendet werden kann. Ich habe jedoch Probleme mit diese Summe aufzuspalten. Ich kann den letzten Faktor nicht vor die Summe ziehen, da der Faktor von

k

abhängt. Wie komme ich weiter und ans Ziel?
Herzliche Grüße
Haseandreas

Haseandreas aktiv_icon

22:06 Uhr, 15.01.2022

Liebe/r HAL9000,
kannst du mir bitte einen Tipp geben, wie ich den Beweis weiter führen kann?
VG
Haseandreas

HAL9000

12:15 Uhr, 16.01.2022

Bevor wir hier zuviel Aufwand treiben, zunächst mal eine ketzerische Frage:

Was GENAU willst du eigentlich beweisen?

Ich sehe oben im Scan des Eröffnungspostings eine LEERE Behauptung...

Haseandreas aktiv_icon

12:31 Uhr, 16.01.2022

Meine Aufgabe ist die Berechnung des Cauchy-Produktes der beiden angegebenen absolut konvergierenden Reihen. Mit eurer Hilfe ist das gestern gelungen. Nun könnte man den Reihenwert genau angeben, so wie du es gemacht hast. Allerdings müsste ich dann eine Regel anwenden, die ich nicht in der VL hatte. diese wollte ich nutzen, aber dazu die Gültigkeit mit Induktion beweisen.

HAL9000

12:55 Uhr, 16.01.2022

Das Cauchy Produkt ergibt

(\sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} k + m - 1 \\ m - 1 \end{array}) x^{k}) \cdot (\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} x^{k} \sum_{j = 0}^{k} (\begin{array}{c} j + m - 1 \\ m - 1 \end{array})

Nun kann man (per Vollständiger Induktion über

k

) die Binomialkoeffizienten-Gleichung

\sum_{j = 0}^{k} (\begin{array}{c} j + m - 1 \\ m - 1 \end{array}) = (\begin{array}{c} k + m \\ m \end{array})

nachweisen, womit dann

(\sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} k + m - 1 \\ m - 1 \end{array}) x^{k}) \cdot (\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} k + m \\ m \end{array}) x^{k}

folgt. Und daraus folgt wiederum (ebenfalls per Vollständiger Induktion) das genannte

\sum_{k = 0}^{\infty} (\begin{array}{c} k + m \\ m \end{array}) x^{k} = \frac{1}{{(1 - x)}^{m + 1}}

.

--------------------------------------------------------------------

Das war der allgemeinere, längere Weg. Du könntest aber auch abkürzend "nur"

(\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) \cdot (\sum_{k = 0}^{\infty} x^{k}) = \sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) x^{k}

per Cauchy-Produkt nachweisen, woraus dann sofort

\sum_{k = 0}^{\infty} (k + 1) x^{k} = \frac{1}{{(1 - x)}^{2}}

folgt, und nach deinen obigen bisherigen Überlegungen im Thread dann auch

\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{(k + 1) (k + 2)}{2} x^{k} = \frac{1}{{(1 - x)}^{3}}

Haseandreas aktiv_icon

13:25 Uhr, 16.01.2022

Diesen Zusammenhang habe ich erst jetzt erkannt, ist schon irre mit den Wald vor lauter Bäumen :-).
Ganz lieben Dank und noch einen schönen Sonntag!!!
VG
Haseandreas

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