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Cauchy Produkt

Universität / Fachhochschule

Tags: Cauchy Produkt, Folgen, Reihen

Hailman aktiv_icon

14:01 Uhr, 09.11.2012

Hallo zusammen,

habe Probleme bei folgender Aufgabe

Zeige mit Hilfe des Cauchy Produktes, dass folgendes gilt:

/ \sum

ist immer von

n = 0

bis unendlich

{(\frac{1}{2})}^{n} \cdot (/ \sum) {(\frac{1}{2})}^{n} = (/ \sum) (n + 1) \cdot {(\frac{1}{2})}^{n}

Ich habe leider keinen blassen schimmer, wie ich hier rechnen muss

Danke für die Tipps.

pwmeyer aktiv_icon

16:00 Uhr, 09.11.2012

Hallo,

in welcher Form habt Ihr denn das Cauchy-Produkt definiert?

Gruß pwm

Hailman aktiv_icon

20:41 Uhr, 09.11.2012

Was meinst du mit Form? Reihen und Cauchy Produkt steht da, mehr weiß ich leider auch nicht.

pwmeyer aktiv_icon

08:27 Uhr, 10.11.2012

Ja, aber was verstehtst Du denn unter "Cauchy-Produkt"?

Suchst Du jemanden, der für Dich Cauchy-Produkt googelt - wenn es nicht schon in Eurer Vorlesung behandelt wurde. Oder weißt Du was das ist und kannst es nur nicht berechnen? In letzterem Fall, solltest Du aufschreiben, was zu berechnen ist.

Gruß pwm

Hailman aktiv_icon

09:39 Uhr, 10.11.2012

Hallo,

das bedeutet sozusagen, wenn die Summe von

n = 0

bis unendlich von

a_{n}

und die Summe von

n = 0

bis unendlich von

b_{n}

Absolut konvergierende Reihen sind, dann konvergiert auch die Summe von

n = 0

bis unendlich, die Summe

k = 0

bis unendlich von

a_{k} \cdot b_{n - k}

Ich weiß nicht wie man die Summe mit den Grenzen hier darstellen kann?

Ja im Prinzip muss ich die beiden linken Summen, beweisen bzw. berechnen, dass die Absolut konvergieren. Nur weiß ich nicht wie ich da vorgehen soll?

pwmeyer aktiv_icon

11:39 Uhr, 10.11.2012

Hallo,

die Reihen, aus denen das Produkt gebildet werden soll haben die Terme

a_{k} = b_{k} = {(\frac{1}{2})}^{k}

. Diese sind positiv, so dass also absolute Konvergenzmit Konvergenz zusammenfällt. Es handelt sich um geometrische Reihen,

a_{k} = q^{k}

mit

| q | < 1,

da weiß man, dass diese konvergieren.

Das Produkt ist eine Reihe

\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n}

mit

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} a_{k} \cdot b_{n - k}

. In diesem Fall also:

c_{n} = \sum_{k = 0}^{n} {(\frac{1}{2})}^{k} \cdot {(\frac{1}{2})}^{n - k} = . .

.

Gruß pwm

Hailman aktiv_icon

22:56 Uhr, 10.11.2012

Also aus der geometrischen Reihe

\frac{1}{1 - \frac{1}{2}} \cdot {(\frac{1}{2})}^{k}

pwmeyer aktiv_icon

11:57 Uhr, 11.11.2012

Deine letzte Frage verstehe ich nicht.

Gruß pwm

Hailman aktiv_icon

13:40 Uhr, 11.11.2012

ist die geometrische Reihe nicht

q^{k} = \frac{1}{1 - q}

?

Das wäre ja dann bei

{(\frac{1}{2})}^{k} = \frac{1}{1 - \frac{1}{2}}

oder?

Kommt da nicht klar, wie ich des mit dem

{(\frac{1}{2})}^{n - k}

machen soll

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