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Cauchy Produkt für divergente Reihen

Universität / Fachhochschule

Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

sabsi

09:54 Uhr, 07.01.2020

Hey

ich habe folgende Reihen:

(a)_{n} = \binom{2 n = 0}{2^{n} n \in N}

(b)_{n} = \binom{- 1 n = 0}{1 n \in N}

Ich soll nun zeigen dass die beiden Reihen divergent sind ( Was relativ einfach ist da beide Folgen keine Nullfolgen sind)

Aber das Cauchy-Produkt:

\sum_{n = 0}^{\infty} \sum_{k = 0}^{n} a_{k} * b_{n - k}

soll konvergent sein? Kann mir da jemand bitte weiterhelfen?

Lg Sabsi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

10:09 Uhr, 07.01.2020

Na rechne doch einfach mal die innere Summe

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k}

für alle

n \geq 2

aus:

\sum_{k = 0}^{n} a_{k} b_{n - k} = a_{0} b_{n} + \sum_{k = 1}^{n - 1} a_{k} b_{n - k} + a_{n} b_{0} = 2 \cdot 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} 2^{k} \cdot 1 + 2^{n} \cdot (- 1) = ?

sabsi

10:20 Uhr, 07.01.2020

also verwendet man hier

\sum_{n = 0}^{k - 1} 2^{n} = 2^{k} - 1

2 \cdot 1 + \sum_{k = 1}^{n - 1} 2^{k} - 2^{n} = 2 + 2^{n} - 2 - 2^{n} = 0

Danke :-)

HAL9000

10:23 Uhr, 07.01.2020

So ist es. :-)

Für

n = 1

kommt übrigens auch Null heraus (da hat man in der Mitte eine "leere" Summe).

Lediglich für

n = 0

bekommt man mit

a_{0} b_{0} = 2 \cdot (- 1) = - 2

einen von Null verschiedenen Wert, und damit alles in allem die Reihe

- 2 + 0 + 0 + 0 + \dots

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