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Cauchy-Riemann

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Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

 
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NFFN1

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17:17 Uhr, 19.10.2020

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Guten Tag,

warum ist die Funktion f(z)=xy wobei z=x+iyC im Punkt z=0 nicht komplex differenzierbar aber erfüllt trotzdem die Cauchy-Riemann Gleichung.
Ich weiss dass Cauchy-Riemann nur eine notwendige Bedingung ist, aber was ist der Grund, dass diese Funktion nicht k. diff. ist?

Und inwiefern erfüllt die Funktion denn überhaupt C-R? Wenn ich nämlich f=u+iv nehme, dann ist v ja gleich die 0-Funktion und ux gleich y2xy (falls xy>=0). Somit wäre ux(0,0) ja undefiniert.

MfG,
Noah
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

17:47 Uhr, 19.10.2020

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Die partiellen Ableitungen im Punkt 0 muss man per Definition berechnen.
Die ganze Aufgabe ist hier:
people.math.sc.edu/schep/solutionshw8-201141.pdf
Du könntest sie übrigens genauso schnell finden wie ich. :-)
NFFN1

NFFN1 aktiv_icon

18:37 Uhr, 19.10.2020

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Ich versteh noch nicht ganz, wie man auf den letzten Ausdruck kommt und was das beweisen soll. Also f(t(1+i))-f(0)t(i+1)
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

19:54 Uhr, 19.10.2020

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Das ist eine Richtungsableitung in 0 in Richtung 1+i. Wenn f komplex diff-bar in 0 wäre, würde sie auch reell differenzierbar als eine Funktion 22, insbesondere würden alle Richtungsableitungen existieren.

Wenn man nicht ins Reelle gehem will, ist auch möglich direkt mit der Definition der Differenzierbarkeit zu argumentieren, denn f(t(i+1))-f(0)t(1+i) ist ein Sonderfall von f(z)-f(0)z-0.
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